Question

14．据报道，美国国家航空航天局宣布首次在太阳系外发现“类地”行星，假如宇航员乘坐宇宙飞船到达该行星，进行科学观测，得到该行星的自转周期为T；宇航员在该行星“北极”距该行星地面附近h处自由释放一个小球（引力视为恒力），落地时间为t．已知该行星半径为R，万有引力常量为G，则下列说法正确的是（　　）

• A． 该行星的第一宇宙速度为$\frac{πR}{T}$
• B． 宇宙飞船绕该星球做圆周运动的周期不小于πt$\sqrt{\frac{2R}{h}}$
• C． 该行星的平均密度为$\frac{3π}{{T}^{2}G}$
• D． 如果该行星存在一颗同步卫星，其距行星表面高度为$\root{3}{\frac{h{T}^{2}{R}^{2}}{2{π}^{2}{t}^{2}}}$-R

Answer 1

分析 根据自由落体运动求出星球表面的重力加速度，再根据万有引力提供圆周运动向心力讨论即可．

解答 解：根据自由落体运动求得星球表面的重力加速度$g=\frac{2h}{{t}^{2}}$，
A、星球的第一宇宙速度$v=\sqrt{gR}=\sqrt{\frac{2hR}{{t}^{2}}}$，故A错误；
B、根据万有引力提供圆周运动向心力有：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}r$，垃圾的运行周期：T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，可知轨道半径越小周期越小，卫星的最小半径为R，则周期最小${T}_{min}=2π\sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$=πt$\sqrt{\frac{2R}{h}}$，故B正确；
C、由$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg\frac{2h}{{t}^{2}}$有：M=$\frac{2h{R}^{2}}{G{t}^{2}}$，所以星球的密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{3h}{2G{t}^{2}Rπ}$，故C错误；
D、同步卫星的周期与星球自转周期相同故有：$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m\frac{4{π}^{2}（R+h）}{{T}^{2}}$，代入数据解得：h=$\root{3}{\frac{h{T}^{2}{R}^{2}}{2{π}^{2}{t}^{2}}}$-R，故D正确．
故选：BD

点评 本题关键是通过自由落体运动求出星球表面的重力加速度，再根据万有引力提供圆周运动向心力和万有引力等于重力求解．