Question

9．相距L=1.5m的足够长金属导轨竖直放置，质量为m₁=1kg的金属棒ab和质量为m₂=0.27kg的金属棒cd均通过棒两端的套环水平地套在金属导轨上，如图（a）所示，虚线上方磁场方向垂直纸面向里，虚线下方磁场方向竖直向下，两处磁场磁感应强度大小相同．ab棒光滑，cd棒与导轨间动摩擦因数为μ=0.75，两棒总电阻为1.8Ω，导轨电阻不计．ab棒在方向竖直向上，大小按图（b）所示规律变化的外力F作用下，从静止开始，沿导轨匀加速运动，同时cd棒也由静止释放．

（1）指出在运动过程中ab棒中的电流方向和cd棒受到的安培力方向；
（2）求出磁感应强度B的大小和ab棒加速度大小；
（3）已知在2s内外力F做功40J，求这一过程中两金属棒产生的总焦耳热；
（4）cd棒将做怎样的运动？求出cd棒达到最大速度所需的时间t₀．

Answer 1

分析 （1）由右手定则判断ab棒中感应电流方向，由左手定则判断cd棒所受的安培力方向．
（2）由E=BLv、I=$\frac{E}{R}$、F=BIL、v=at，及牛顿第二定律得到F与时间t的关系式，再根据数学知识研究图象（b）斜率和截距的意义，即可求磁感应强度B的大小和ab棒加速度大小．
（3）由运动学公式求出2s末金属棒ab的速率和位移，根据动能定理求出两金属棒产生的总焦耳热．
（4）分析cd棒的运动情况：cd棒先做加速度逐渐减小的加速运动，当cd棒所受重力与滑动摩擦力相等时，速度达到最大；然后做加速度逐渐增大的减速运动，最后停止运动．
cd棒达到最大速度时重力与摩擦力平衡，而cd棒对导轨的压力等于安培力，可求出电路中的电流，再由E=BLv、欧姆定律和运动学公式结合求解时间t₀．

解答 解：（1）在运动过程中ab棒中的电流方向向左（b→a），cd棒受到的安培力方向垂直于纸面向里．
（2）经过时间t，金属棒ab的速率 v=at
此时，回路中的感应电流为：I=$\frac{BLv}{R}$
对金属棒ab，由牛顿第二定律得：
F-mg-BIL=ma
在图线上取两点：t₁=0，F₁=11N；t₂=2s，F₂=14.6N，
代入上式得：a=1m/s²  B=1.2T
（3）在2s末金属棒ab的速率为：v_t=at=2m/s
所发生的位移为：s=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=2m
由动能定律得：W_F-m₁gs-W_安=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{t}^{2}$
又Q=W_安
联立以上方程，解得：Q=W_F-m₁gs-$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{t}^{2}$=18J 
（4）cd棒先做加速度逐渐减小的加速运动，当cd棒所受重力与滑动摩擦力相等时，速度达到最大；后做加速度逐渐增大的减速运动，最后停止运动．
当cd棒速度达到最大时，有m₂g=μF_N
又F_N=F_安 F_安=BIL  I=$\frac{E}{R}$=$\frac{BL{v}_{m}}{R}$，v_m=at₀
整理解得：v_m=$\frac{{m}_{2}gR}{μ{B}^{2}{L}^{2}}$=$\frac{0.27×10×1.8}{0.75×1．{2}^{2}×1．{5}^{2}}$=2m/s
t₀=$\frac{{v}_{m}}{a}$=2s
（3）答：（1）在运动过程中ab棒中的电流方向向左（b→a），cd棒受到的安培力方向垂直于纸面向里；
（2）磁感应强度B的大小是1.2T，ab棒加速度大小是1m/s²；
（3）已知在2s内外力F做功40J，这一过程中两金属棒产生的总焦耳热是18J；
（4）cd棒先做加速度逐渐减小的加速运动，当cd棒所受重力与滑动摩擦力相等时，速度达到最大；后做加速度逐渐增大的减速运动，最后停止运动．cd棒达到最大速度所需的时间t₀是2s．

点评 本题中cd棒先受到滑动摩擦，后受到静摩擦，发生了突变，要仔细耐心分析这个动态变化过程．滑动摩擦力与安培力有关，呈现线性增大．