Question

（2009?安庆三模）在竖直平面内有一半径为R的光滑圆环轨道，一质量为m的小球穿在圆环轨道上做圆周运动，到达最高点C时的速率v_c=

4gR 5

，则下述不正确的是（　　）

• A．此球的最大速率是

  6

  v_c
• B．小球在任一直径两端点上的动能之和相等
• C．小球到达C点时对轨道的压力是

  4mg

  5

• D．小球沿圆轨道绕行一周所用的时间小于π

  5R g

Answer 1

分析：因为圆环轨道是光滑的，只有重力做功，所以机械能守恒，可以求得在最低点时的最大速度；
对物体受力分析，根据圆周运动的向心力公式可以求得对轨道的作用力，由周期公式可以知道物体运动的周期．

解答：解：A、速度最大的点应该是最低点时，根据机械能守恒得：

1

2

mv2-

1

2

mvc²=2mgR，解得最大速率为：v=

24gR 5

=

6

v_c，故A正确．
B、整个过程中机械能守恒，在任一直径两端点上的点，它们的高度之和都是2R，即它们的重力势能的和相等，由于总的机械能守恒，所以它们的动能之和也相等，故B正确．
C、在C点有：mg-N=m

v 2 C

R

，得：N=

1

5

mg，小球到达C点时对轨道的压力为：N′=N=

1

5

mg，故C错误．
D、由周期T=

2πR

v

，当圆环以速度最小v_c=

4gR 5

做匀速圆周运动时周期最小，v_c=

4gR 5

代入T=

2πR

v

，计算可得T=π

5R g

，由于小球离开最高点后速度在变大，所以T要减小，所以T＜T=π

5R g

，故D正确．
本题选错误的，故选：C．

点评：小球穿在圆环轨道上做圆周运动，属于杆的模型，在最高点时速度最小，向心力最小，最低点时速度最大，向心力最大，由机械能守恒可以求它们之间的关系．