Question

（2012?徐汇区一模）如图所示，质量为m=5kg的摆球从图中A位置由静止开始摆下，当小球摆至竖直位置到达B点时绳子恰好被拉断．已知摆线长为L=1.6m，OA与OB的夹角为60°，悬点O与地面间的距离h_OC=4m，若不计空气阻力及一切能量损耗，g=10m/s²，求：
（1）小球摆到B点时的速度大小；
（2）小球落地点D到C点之间的距离；
（3）若选用不同长度的绳子进行实验，仍然保证OA与OB的夹角为60°，且绳子在处于竖直方向时拉断，为了使小球的落点D与C之间的距离最远，请通过计算求绳子的长度和CD间最远距离．

Answer 1

分析：（1）小球下摆过程中，只有重力做功，根据动能定理可求出到B点时小球的速度．
（2）到B点后，小球做平抛运动，由竖直高度求出平抛的时间，再求水平距离．
（3）根据动能定理和平抛运动知识列出小球的落点D与C之间的距离x与绳长l的函数关系式，由数学知识求解最大值．

解答：解：（1）设小球摆到B点的速度为v，由动能定理得  
           mgL(1-cosθ)=

1

2

mv2
             得到  v=

2gL(1-cosθ)

=4m/s
    （2）小球从B点飞出后，做平抛运动，平抛的时间为t，
             则有h-L=

1

2

gt2
         水平方向，小球做匀速直线运动，则有x=vt
         故CD间的距离为        x=vt=4×0.8=3.2m
    （3）设绳子长度为l，则由前两问可得CD间的距离
         x=vt=

2gl(1-cosθ)

?

2(h-l) g

=

2l(h-l)

        由均值定理可得，当l=h-l即l=2.4m时，x有最大值
             代入即可得x=3.4m．  
答：（1）小球摆到B点时的速度大小0 4m/s；
    （2）小球落地点D到C点之间的距离为3.2m；
    （3）绳长为2.4m时，CD间距离最远，为3.4m．

点评：本题第（3）问中通过列出函数与自变量的函数关系式，通过数学知识求极值，是物理上求极值常用的方法之一．