Question

从离地h高处有静止释放一个质量为m的小球A，同时在它正下方的地面处以速度v₀ 竖直上抛另一个质量也为m的小球B．已知空气对小球的阻力f大小不变且f=

1

2

mg问：
（1）若h=15m，v₀=20m/s  则经过多长时间小球B与A球相遇．
（2）若h=50m，v₀=30m/s  则经过多长时间小球B与A相遇．

Answer 1

分析：（1）由于是一个是下落，一个是上泡，先判定两物体是在上升阶段相遇还是在下降阶段相遇，由此在由位移之和等于高度来求时间．
（2）同第一问的方法，先判定两物体是在上升阶段相遇还是在下降阶段相遇，本题由于给了两个高度，所以据估计对高度大的这一问，物体应该在下降阶段相遇，验证可以得到具体结论，然后再据此来求相遇所需要的时间．

解答：解：（1）B上升至最高点所需的时间：t1=

v0

a1

由牛顿第二定律：mg+

1

2

mg=ma1
解得：
a1=

3

2

g
t1=

4

3

s
此时间内，A的下降位移为：h₁=

1

2

gt2=

80

9

m
B上升的位移为：
h₂=

v0

2

t=

40

3

m
h₁+h₂＞15m
故应该是在B上升阶段相遇，设相遇时间为t，则由运动学可得：

1

2

?

1

2

gt2+v0t-

1

2

?

3

2

gt2=h
解得：t=1s            t=-3s（舍弃）
（2）B上升至最高点所需的时间为：t2=

v0

a1

=2s
此过程B上升的高度为：s1=

v02

2a1

=30m
此过程A下降的高度为：s2=

1

2

?

1

2

gt2=10m
上升和下降高度和为：s₁+s₂=40m
总高度为50m，故应是在B下降时相遇
在下降过程中A．B的加速度都是：
a=

mg-f

m

=

1

2

g
设再经过t′的时间追上
A此时的速度：
vA=

1

2

gt2=10m/s
则：
vAt′+

1

2

?

1

2

gt′2+v0t-

1

2

?

1

2

gt′2=h-s1-s2
解得：t′=1s
所以相遇时间为：t=t₂+t′=3s
答：
（1）若h=15m，v₀=20m/s  则经过1s小球B与A球相遇．
（2）若h=50m，v₀=30m/s  则经过3s小球B与A相遇．

点评：本题涉及的重要的内容是竖直上抛问题中的返回问题，和水平的直线相遇不同，竖直上抛不一定就是在上升阶段相遇，而极有可能在下降阶段相遇，尤其在出现两个高度的情况下，更应留意大的高度的相遇点的判定．