Question

如图所示，水平方向有界匀强磁场的高度h=1m、磁感应强度B=

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T．竖直放置的“日”字型闭合导体线框ABFE，宽L=1m，质量m=0.25kg，AC、CE的长度都大于h，AB边的电阻R_AB=1Ω、CD边的电阻R_CD=2Ω、EF边的电阻R_EF=3Ω，其余电阻不计．线框由静止下落，AB边进入磁场时恰能匀速运动，不计空气阻力，g取10m/s²．求：
（1）开始下落时，线框AB边离磁场上边界的高度h₁为多少？
（2）若线框CD边刚进入磁场时也做匀速运动，AB边与CD边的距离h₂为多少？
（3）在满足（1）（2）前提下，若线框EF边刚进磁场时也做匀速运动，则从开始下落到EF边离开磁场过程中，线框中产生的焦耳热Q为多少？

Answer 1

分析：（1）AB边进入磁场时切割磁感线，产生感应电动势相当于电源，CD与EF并联．由于线框匀速运动，重力与安培力平衡，根据平衡条件求出线框的速度，线框示进入磁场时做自由落体运动，由h₁=

v 2 1

2g

求出h₁．
（2）若线框CD边刚进入磁场时做匀速运动，重力与安培力平衡，由平衡条件求出此时线框的速度v₂，AB出出磁场到CD进磁场，穿过线框的磁通量不变，没有感应电流产生，线框做加速度为g的匀加速运动，由运动学公式求解h₂．
（3）线框EF边刚进磁场时也做匀速运动，重力与安培力也平衡，由平衡条件求出此时线框的速度v₃，由运动学公式求出CE高度H_CE．

解答：解：（1）AB边匀速进磁场，设速度为v₁．
mg=F_安=BI₁L=

B2L2v1

R1

得，v₁=

mg(RAB+ RCDREF RCD+REF )

B2L2

=8m/s
h₁=

v 2 1

2g

=

82

2×10

m=3.2m
（2）CD边匀速进磁场，设速度为v₂．
mg=F_安=BI₂L=

B2L2v2

R2

v₂=

mg(RCD+ RABREF RAB+REF )

B2L2

=10m/s
则h₂=

v 2 2 - v 2 1

2g

+h=2.8m                
（3）EF边匀速进磁场，设速度为v₃．
mg=F_安=BI₃L=

B2L2v3

R3

v₃=

mg(REF+ RABRCD RAB+RCD )

B2L2

=

40

3

m/s
H_CE=

v 2 3 - v 2 2

2g

+h=

44

9

m
Q=mg（h₁+h+H_AC+H_CE）-

1

2

m

v

2 3

=7.5J
答：（1）开始下落时，线框AB边离磁场上边界的高度h₁为3.2m．
（2）AB边与CD边的距离h₂为2.8m．
（3）从开始下落到EF边离开磁场过程中，线框中产生的焦耳热Q为7.5J．

点评：本题是电磁感应与电路、力学、磁场等知识的综合应用，关键有三点：一是认识电路的结构；二是计算安培力；三是分析能量是如何转化的．第（3）问也可以这样求解：只有AB边、CD边、EF边在磁场中运动时，线框中才产生热量，现在三个边在磁场中均做匀速运动，所以Q=3mgh=3×0.25×10×1J=7.5J．