Question

3．如图甲所示，轻杆一端与质量为1kg、可视为质点的小球相连，另一端可绕光滑固定轴在竖直平面内自由转动，现使小球在竖直平面内做圆周运动，经最高点开始计时，取水平向右为正方向，小球的水平分速度v随时间t的变化关系如图乙所示，A、B、C三点分别是图线与纵轴、横轴的交点、图线上第一周期内的最低点，该三点的纵坐标分别是1、0、-5．g取10m/s²，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）

• A． 轻杆的长度为0.5m
• B． 小球经最高点时，杆对它的作用力方向竖直向上
• C． B点对应时刻小球的速度为3m/s
• D． 曲线AB段与坐标轴所围图形的面积为0.5m

Answer 1

分析 已知小球在ABC三个点的速度，A到C的过程中机械能守恒，由机械能守恒定律即可求出杆的长度；结合小球过最高点的受力的特点，即可求出杆对小球的作用力的方向；由机械能守恒可以求出B点的速度；由于y轴表示的是小球在水平方向的分速度，所以曲线AB段与坐标轴所围图形的面积表示A到B的过程小球在水平方向的位移．

解答 解：A、设杆的长度为L，小球从A到C的过程中机械能守恒，得：$\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}+2mgL=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$，解得L=$\frac{{{v}_{C}}^{2}-{{v}_{A}}^{2}}{4g}$=$\frac{（-5）^{2}-{1}^{2}}{40}m=0.6m$，故A错误．
B、若小球在A点恰好对杆的作用力是0，则有$mg=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{L}$，解得${v}_{0}=\sqrt{gL}=\sqrt{6}m/s$＞v_A=1m/s．
由于小球在A点的速度小于临界速度，所以小球做圆周运动需要的向心力小于重力，杆对小球的作用力的方向向上，故是竖直向上的支持力．故B正确．
C、小球从A到B的过程中机械能守恒，得$\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}+mgL=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，所以${v}_{B}=\sqrt{{{v}_{A}}^{2}+2gL}$=$\sqrt{1+2×10×0.6}m/s=\sqrt{13}$m/s，故C错误．
D、由于y轴表示的是小球在水平方向的分速度，所以曲线AB段与坐标轴所围图形的面积表示A到B的过程小球在水平方向的位移，大小等于杆的长度，即0.6m．故D错误．
故选：B．

点评 该题考查竖直平面内的圆周运动，将牛顿第二定律与机械能守恒定律相结合即可正确解答．该题中的一个难点是D选项中“曲线AB段与坐标轴所围图形的面积”的意义要理解．