Question

如图甲所示，光滑的水平地面上固定一长为L=1.7m长木板C，板的左端有两小物块A和B，其间夹有一根长为l=1.0m的轻弹簧，弹簧没有形变，且与物块不相连．已知m_A=m_C=20kg，m_B=40kg，A与木板C、B与木板C的动摩擦因数分别为μ_A=0.50，μ_B=0.25，用水平力F作用于A，让F从零逐渐增大，并使B缓慢地向右移动了0.5m．问：

（1）若弹簧的劲度系数为k=200N/m，当B缓慢移动时，A、B物块之间的距离多大？
（2）若弹簧的劲度系数为k=200N/m，以作用力F为纵坐标，A移动的距离为横坐标，试在图乙的坐标系中作出推力F随A位移的变化图线．（直接作图，不必写出推导过程）
（3）当物块B缓慢地向右移动了0.5m时，撤去F，保持A、B两物块间距，将其间夹有的弹簧更换为压缩量仍相同、贮存的弹性势能为E=300J的新弹簧，并且同时释放三物体A、B和C，已被压缩的轻弹簧将A、B向两边弹开，哪一物块将先弹出木板C，最终C的速度是多少？

Answer 1

分析：先求出A与C间的摩擦力为f_A=μ_Am_Ag=100N，B与C间摩擦力为f_B=μ_Bm_Bg=100N．力F从零逐渐增大，当增大到100N时，物块A开始向右移动压缩轻弹簧，此时B仍保持静止，弹簧的压缩量设为x，力F=f_A+kx，当x=0.5m时，力F=f_A+f_B=200N，此时B将缓慢地向右移．B在移动0.5m的过程中，力F保持F=200N不变，弹簧压缩了0.5m，B离木板C的右端0.2m，A离木板C有左端1.0m．根据这些条件可作出力F随A位移的变化图线；
分析三个物体的运动状态：撤去力F之后，AB两物块给木板C的摩擦力的合力为零，木板静止不动，由动量守恒可求出AB速度之比，则可得到位移关系，判断哪个物块先
先弹出木板C．对三个物体，由能量守恒定律和动量守恒结合求解最终C的速度．

解答：解：（1）当B缓慢移动时，对B由平衡条件得：kx=μ_Bm_Bg，解得：x=0.5m  
则A、B物块之间的距离为S_AB=l-x=0.5m                                  
（2）A与C间的摩擦力为：f_A=μ_Am_Ag=0.5×20×10N=100N，B与C间摩擦力为：f_B=μ_Bm_Bg=0.25×40×10N=100N，
推力F 从零逐渐增大，当增大到100N时，物块A开始向右移动压缩轻弹簧（此时B仍保持静止），设压缩量为x，
则力F=f_A+kx，当x=0.5m时，力F=f_A+f_B=200N，此时B将缓慢地向右移．B在移动0.5m的过程中，力F保持F=200N不变，弹簧压缩了0.5m，
B离木板C的右端0.2m，A离木板C有左端1.0m．作出力F随A位移的变化图线如右图所示．
（3）撤去力F之后，A、B两物块给木板C的摩擦力的合力为零，故在物块A、B滑离木板C之前，C仍静止不动．物块A、B整体所受外力的合力也为零，其动量守恒，
可得：m_Av_A=m_Bv_B…①
始终有v_A：v_B=m_B：m_A=2：1，
当物块B在木板C上向右滑动了0.2m，物块A则向左滑动了0.4m，但A离木板C的左端还有d=0.6m．
可见，物块B先滑离木板C．
并且两物块的相对位移△s=0.4+0.2m=0.6m＞0.5m（弹簧的压缩量），弹簧贮存的弹性势能已全部释放，
由能量守恒定律有：E=

1

2

mA

v

2 A

+

1

2

mB

v

2 B

+f×△s…②
由②式求出物块B滑离木板C的A物块的速度：v_A=4m/s
设此后A滑离木板C时，物块A的速度为v'_A，木板C的速度为v'_C，由动量守恒有：m_Av_A=m_Av'_A+m_Cv'_C…③
由能量守恒有：fA×d=

1

2

mA

v

2 A

-(

1

2

mAv

′

2 A

+

1

2

mCv

′

2 C

)…④
将d=0.6m及有关数据代入③④两式可得：v

′

2 C

-4v′C+3=0
解得：v'_C=1m/s（v'_C=3m/s舍去） 
答：（1）若弹簧的劲度系数为k=200N/m，当B缓慢移动时，A、B物块之间的距离0.5m
（2）如图
（3）当物块B缓慢地向右移动了0.5m时，撤去F最终C的速度是1m/s．

点评：本题难度较大，既要分析三个物体的受力情况，确定出它们的运动状态，还要根据动量守恒和能量守恒定律结合求解C的最终速度．