Question

如图所示，水平地面上方的H高区域内有匀强磁场，水平界面PP′是磁场的上边界，磁感应强度为B，方向是水平的，垂直于纸面向里．在磁场的正上方，有一个位于竖直平面内的闭合的矩形平面导线框abcd，ab长为l₁，bc长为l₂，H＞l₂，线框的质量为m，电阻为R．使线框abcd从高处自由落下，ab边下落的过程中始终保持水平，已知线框进入磁场的过程中的运动情况是：cd边进入磁场以后，线框先做加速运动，然后做匀速运动，直到ab边到达边界PP′为止．从线框开始下落到cd边刚好到达水平地面的过程中，线框中产生的焦耳热为Q．求：
（1）线框abcd在进入磁场的过程中，通过导线的某一横截面的电荷量是多少？
（2）线框是从cd边距边界PP′多高处开始下落的？
（3）线框的cd边到达地面时线框的速度大小是多少？

Answer 1

分析：（1）根据q=

.

I

△t=

△Φ

R

，求通过导线某一横截面的电荷量．
（2）当重力等于安培力时，线框做匀速运动，根据mg=BIl₁，I=

Bl1v

R

，可求出匀速运动的速度．从线框开始下落到cd边刚好到达水平地面的过程中，线框的重力势能减小转化为
线框的动能和内能，根据能量守恒定律求解高度．
（3）线框的ab边进入磁场后，只有重力作用下，线框做匀加速运动，由运动学公式求解线框的cd边到达地面时线框的速度大小．

解答：解：（1）设线框abcd进入磁场的过程所用时间为t，通过线框的平均电流为

.

I

，平均感应电动势为

.

E

，则
 

.

E

=

△Φ

△t

，

.

I

=

. E

R

，△Φ=Bl₁l₂
通过导线的某一横截面的电荷量 q=q=

.

I

△t=

△Φ

R

，解得 q=

Bl1l2

R

．
（2）设线框从cd边距边界PP′上方h高处开始下落，cd边进入磁场后，切割磁感线，产生感应电流，在安培力作用下做加速度逐渐减小的加速运动，直到安培力等于重力后匀速下落，速度设为v，匀速过程一直持续到ab边进入磁场时结束，有
  E=Bl₁v，I=

E

R

F_A=BIl₁，F_A=mg 
联立解得 v=

mgR

B2 l 2 1

线框的ab边进入磁场后，线框中没有感应电流．只有在线框进入磁场的过程中有焦耳热Q．线框从开始下落到ab边刚进入磁场的过程中，线框的重力势能转化为线框的动能和电路中的焦耳热．则有
 mg（h+l₂）=

1

2

mv2+Q
解得  h=

m3g2R2+2QB4 l 4 1

2mgB4 l 4 1

-l2
（3）线框的ab边进入磁场后，只有重力作用下，匀加速下落，加速度大小为g，则有
 

v

2 1

-v2=2g(H-l2)
解得，cd边到达地面时线框的速度v₁=

m2g2R2 B4 l 4 1 +2g(H-l2)

答：（1）线框abcd在进入磁场的过程中，通过导线的某一横截面的电荷量是

Bl1l2

R

．

（2）线框是从cd边距边界PP′

m3g2R2+2QB4 l 4 1

2mgB4 l 4 1

-l2高处开始下落的．
（3）线框的cd边到达地面时线框的速度大小是

m2g2R2 B4 l 4 1 +2g(H-l2)

．

点评：解决本题的关键掌握求解电量得方法，q=

.

I

△t=

△Φ

R

，以及会根据线框的受力情况判断运动情况．