Question

（2008?浙江模拟）如图所示，两足够长平行光滑的金属导轨MN、PQ相距为L，导轨平面与水平面夹角α=30°，导轨电阻不计．磁感应强度为B的匀强磁场垂直导轨平面斜向上，长为L的金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，金属棒的质量为m，电阻为R．两金属导轨的上端连接右侧电路，电路中R₂为一电阻箱，已知灯泡的电阻R_L=4R，定值电阻R₁=2R，调节电阻箱使R₂=12R，重力加速度为g，闭合开关S，现将金属棒由静止释放，求：
（1）金属棒下滑的最大速度v_m；
（2）当金属棒下滑距离为s₀时速度恰好达到最大，则金属棒由静止开始下滑2s₀的过程中，整个电路产生的电热；
（3）改变电阻箱R₂的阻值，当R₂为何值时，金属棒匀速下滑时R₂消耗的功率最大；消耗的最大功率为多少？

Answer 1

分析：（1）金属棒ab先加速下滑，加速度减小，后匀速下滑，速度达到最大．由欧姆定律、感应电动势和安培力公式推导出安培力的表达式，根据平衡条件求解最大速度．
（2）金属棒由静止开始下滑2s₀的过程中，重力和安培力对棒做功，棒的重力势能减小转化为棒的动能和电路的内能，根据能量守恒列式可求出整个电路中产生的总电热．
（3）金属棒匀速下滑时受力平衡，根据平衡条件得到通过ab棒的电流，根据欧姆定律得到通过R₂的电流，由公式P2=

I

2 2

R2得到功率与电阻的关系式，运用数学知识求极值，并确定出条件．

解答：解：（1）当金属棒匀速下滑时速度最大，达到最大时有
    mgsinα=F_安…①
又  F_安=BIL…②
   I=

BLvm

R总

…③
其中R_总=R+R₁+

R2RL

R2+RL

=6R…④
联立①-④式得金属棒下滑的最大速度vm=

3mgR

B2L2

…⑤
（2）根据能量转化和守恒得：
   mgsin2sB=Q+

1

2

m

v

2 m

  ⑥
再将⑤式代入上式得Q=mgs0-

9m3g2R2

2B4L4

 
（3）金属棒匀速下滑时
  mgsinα=BIL
则得 I=

mgsinα

BL

…⑦
R₂消耗的功率P2=

I

2 2

R2…⑧
由分流原理得：通过电阻箱R₂的I₂=

RL

R2+RL

I=

4R

R2+4R

I…⑨
联立⑦～⑨式得P2=( 
则得 P2=

16R2R2

R 2 2 +8RR2+16R2

(

mgsinα

BL

)2
  P2=

16R

R2+8R+ 16R2 R2

(

mgsinα

BL

)2
当R2=

16R2

R2

，即R₂=4R时，R₂消耗的功率最大
故R₂消耗的最大功率为：P2=

m2g2R

4B2L2

答：
（1）金属棒下滑的最大速度v_m是

3mgR

B2L2

．
（2）金属棒由静止开始下滑2s₀的过程中，整个电路产生的电热是mgs₀-

9m3g2R2

2B4L4

；
（3）改变电阻箱R₂的阻值，当R₂为何值时，金属棒匀速下滑时R₂消耗的功率最大；消耗的最大功率为

m2g2R

4B2L2

．

点评：本题考查了电路知识、电磁感应知识，第3问运用数学方法求极值，对数学知识的能力要求较高．