Question

空间区域I、II有匀强电场和匀强磁场，MN、PQ为理想边界，I区域高度为d，II区域的高度足够大，匀强电场方向竖直向上；I、II区域的磁感应强度大小均为B，方向分别垂直纸面向里和向外。一个质量为m、带电荷量为q的小球从磁场上方的O点由静止开始下落，进入场区后，恰能做匀速圆周运动。已知重力加速度为g。

（1）试判断小球的电性并求出电场强度E的大小；

（2）若带电小球运动一定时间后恰能回到O点，求它释放时距MN的高度h；

（3）试讨论在h取不同值时，带电小球第一次穿出I区域的过程中，电场力所做的功。

Answer 1

解：（1）带电小球进入复合场后，恰能做匀速圆周运动，合力为洛伦兹力，重力与电场力平衡，重力竖直向下，电场力竖直向上，即小球带正电（2分）

由qE=mg（2分）

解得（1分）

（2）带电小球在进入磁场前做自由落体运动，据机械能守恒定律得

mgh=mv2（2分）

带电小球在磁场中作匀速圆周运动，设半径为R，据牛顿第二定律得

qvB=m（2分）

由于带电小球在Ⅰ、Ⅱ两个区域运动过程中q、v、B、m的大小不变，故三段圆周运动的半径相同，以三个圆心为顶点的三角形为等边三角形，边长为2R，内角为60º，如图a所示

由几何关系知R=    （2分）

解得h=（1分）

（3）当带电小球在Ⅰ区域作圆周运动的圆弧与PQ相切时，设小球释放时距MN的高度为h0，运动轨迹如图b所示

半径R=d    （2分）

联立解得h0=（1分）

讨论：

i．当h≤h0时，带电小球进入磁场Ⅰ区域的速度较小，半径较小，不能进入Ⅱ区域，由磁场上边界MN第一次穿出磁场Ⅰ区域，此过程电场力做功W=qEs=0（2分）

ⅱ．当h>h0时，带电小球进入磁场Ⅰ区域后由下边界PQ第一次穿出磁场Ⅰ区域进入Ⅱ区域，此过程电场力做功W=－qEd    （2分）

解得W=－mgd（1分）