Question

18．如图所示，A、B是土星的两卫星，绕土星做圆周运动，设两卫星的周期分别为T₁和T₂．两卫星的速率分别为v₁和v₂，两卫星的加速度分别为a₁和a₂，两卫星的角速度分别为ω₁和ω₂，下列关系正确的是（　　）

• A． T₁＞T₂
• B． v₁＞v₂
• C． a₁＜a₂
• D． ω₁＜ω₂

Answer 1

分析 土星的卫星围绕土星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，得到线速度v、角速度ω、周期T、向心加速度a与轨道半径的半径的关系，再进行求解．

解答 解：设土星的质量为M，卫星的质量为m，轨道半径为r，根据万有引力提供向心力有：
$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=ma=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}=m{ω}_{\;}^{2}r=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$
得线速度$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，角速度$ω=\sqrt{\frac{GM}{{r}_{\;}^{3}}}$，周期$T=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{GM}}$，向心加速度$a=\frac{GM}{{r}_{\;}^{2}}$
A、根据$T=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{GM}}$，知轨道半径越小，周期越小，土星A的轨道半径${r}_{1}^{\;}$小于土星B的轨道半径${r}_{2}^{\;}$，故${T}_{1}^{\;}＜{T}_{2}^{\;}$，故A错误；
B、根据$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，知轨道半径越小，线速度越大，土星A的轨道半径${r}_{1}^{\;}$小于土星B的轨道半径${r}_{2}^{\;}$，故${v}_{1}^{\;}＞{v}_{2}^{\;}$，故B正确；
C、根据$a=\frac{GM}{{r}_{\;}^{2}}$，知轨道半径越小，向心加速度越大，土星A的轨道半径${r}_{1}^{\;}$小于土星B的轨道半径${r}_{2}^{\;}$，故${a}_{1}^{\;}＞{a}_{2}^{\;}$，故C错误；
D、根据$ω=\sqrt{\frac{GM}{{r}_{\;}^{3}}}$，知轨道半径越小，角速度越大，土星A的轨道半径${r}_{1}^{\;}$小于土星B的轨道半径${r}_{2}^{\;}$，故${ω}_{1}^{\;}＞{ω}_{2}^{\;}$，故D错误
故选：B

点评 本题关键是要掌握万有引力提供向心力这个关系，能够根据题意选择恰当的向心力的表达式