Question

6．如图甲所示，两平行金属板A、B的板长l=0.20m，板间距d=0.20m，两金属板间加如图乙所示的交变电压，并在两板间形成交变的匀强电场，忽略其边缘效应．在金属板右侧有一方向垂直于纸面向里的匀强磁场，其左右宽度D=0.40m，上下范围足够大，边界MN和PQ均与金属板垂直．匀强磁场的磁感应强度B=1.0×10^-2 T．现从t=0开始，从两极板左端的中点O处以每秒钟1000个的速率不停地释放出某种带正电的粒子，这些粒子均以v_o=2.0×10⁵m/s的速度沿两板间的中线射入电场，已知带电粒子的比荷$\frac{q}{m}$=1.0×10⁸ C/kg，粒子的重力和粒子间的相互作用都忽略不计，在粒子通过电场区域的极短时间内极板间的电压可以看作不变．求：
（1）t=0时刻进入的粒子，经边界MN射入磁场和射出磁场时两点间的距离；
（2）当两金属板间的电压至少为多少时，带电粒子不能进入磁场；
（3）在电压变化的第一个周期内有多少个带电的粒子能进入磁场．

Answer 1

分析 （1）t=0时刻电压为零，粒子匀速通过极板．在磁场中，粒子做做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律，结合洛伦兹力提供向心力，可求出轨迹半径，由几何关系求解；
（2）研究临界情况：粒子刚好不能射出电场时，根据类平抛运动的处理方法，结合运动学公式，从而确定电压U₀；
（3）|u_AB|＜U₀时粒子可以射出电场，根据比例关系求解能进入磁场的带电粒子数目．

解答 解：（1）t=0时刻电压为零，粒子匀速通过极板
由牛顿第二定律得 Bqv₀=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$                        
得：r=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$=0.2m＜D                              
所以出射点到入射点的距离为 s=2r=0.4m            
（2）考虑临界情况：粒子刚好不能射出电场
对类平抛过程：y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=$\frac{d}{2}$，
又 加速度 a=$\frac{q{U}_{0}}{md}$，l=v₀t         
联立解得 U₀=$\frac{{d}^{2}m{v}_{0}^{2}}{q{l}^{2}}$=400V                            
（3）当）|u_AB|＜U₀时，粒子可以射出电场，根据比例关系得
第一个周期内能够出射的粒子数为 n=$\frac{400}{500}×1000×4$=3200 个
答：
（1）t=0时刻进入的粒子，经边界MN射入磁场和射出磁场时两点间的距离是0.4m；
（2）当两金属板间的电压至少为400V时，带电粒子不能进入磁场；
（3）在电压变化的第一个周期内有3200个带电的粒子能进入磁场．

点评 此题考查粒子在电场中做类平抛运动，在磁场中做匀速圆周运动，掌握运动处理的规律，理解这两种处理的方法，注意分析临界条件和几何关系的运用．