Question

18．如图（甲）所示，相距为2L的光滑平行金属导轨水平放置，右侧接有定值电阻R，导轨电阻忽略不计，OO′的左侧存在垂直于导轨平面向下、磁感应强度为B的匀强磁场．在OO′左侧L处垂直导轨放轩一质量为m、电阻为0.5R的金属杆ab，ab在恒力的作用下由静止开始向右运动3L的距离，其速度与位移的变化关系如图（乙）所示（其中v₁、v₂是已知值）．求：
 
（1）ab在恒力作用下由静止开始向右运动3L的过程通过电阻R的电荷量q．
（2）ab即将离开磁场时，加速度的大小a
（3）整个过程中，电阻R上产生的焦耳势Q．

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律和电量公式结合求出通过电阻R的电荷量q．
（2）对金属杆ab进行受力分析和运动过程分析，应用动能定理研究从L到3L的过程，表示出恒力F．对金属杆ab刚要离开磁场时进行受力分析，运用牛顿第二定律列出等式求出加速度．
（3）运用动能定理研究由起始位置到发生位移L的过程，求出安培力做功．根据功能关系知道克服安培力做功求出电路中产生的焦耳热．

解答 解：（1）整个运动的过程中，磁通量的变化量为△Φ=B•2L•L=2BL²；产生的电量q=$\frac{△Φ}{R+0.5R}$=$\frac{4B{L}^{2}}{3R}$；
（2）ab杆在即将离开磁场前瞬间，水平方向上受安培力F_安和外力F作用，ab杆在位移L到3L的过程中，由动能定理得：F（3L-L）=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$；
解得：F=$\frac{m（{v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}）}{4L}$
ab即将离开磁场时，安培力大小为 F_安=BI•2L=B•2L•$\frac{B•2L{v}_{1}}{1.5R}$=$\frac{8{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{3R}$
设加速度为a，则 F-F_安=ma
联立解得：a=$\frac{{v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}}{4L}$-$\frac{8{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{3mR}$
（3）ab杆在磁场中发生L位移过程中，恒力F做的功等于ab杆增加的动能和回路产生的电能，由能量守恒定律得：FL=Q+$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
设电阻R上产生的焦耳热为Q₁．则
 Q₁=$\frac{R}{R+r}$Q
联立解得 Q₁=$\frac{1}{6}m（{v}_{2}^{2}-3{v}_{1}^{2}）$
答：（1）ab在恒力作用下由静止开始向右运动3L的过程通过电阻R的电荷量q是$\frac{4B{L}^{2}}{3R}$．
（2）ab即将离开磁场时，加速度的大小a是$\frac{{v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}}{4L}$-$\frac{8{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{3mR}$．
（3）整个过程中，电阻R上产生的焦耳热为$\frac{1}{6}m（{v}_{2}^{2}-3{v}_{1}^{2}）$．

点评 本题考查导体切割磁感线中的能量转化规律；要能够把法拉第电磁感应定律与电路知识结合运用．电磁感应中动力学问题离不开受力分析和运动过程分析．关于电磁感应中能量问题我们要从功能关系角度出发研究．