Question

6．如图所示，用长为L的轻质细线将质量为m的小球悬挂于O点，小球在外力作用下静止在A处，此时细线偏离竖直的夹角为α，现撤去外力，让小球由静止释放，摆到最低点B时，细线被O点正下方的小钉子挡住，小球继续向左摆动到细线偏离竖直方向β（β＜α）角时，垂直撞击挡板，此后，小球摆到右侧最高点时细线与竖直方向夹角也为β．不计空气阻力，忽略细线与钉子相互作用时的能量损失．求：
（1）小球静止在A处时，所受外力的最小值；
（2）小球第一次向左摆到B点前瞬间对细线的拉力大小；
（3）小球与挡板第一次垂直撞击过程中，挡板对小球做的功；并请判断小球是否会第二次撞击挡板，给出理由．

Answer 1

分析 （1）小球在A处于静止，受共点力平衡，当F₁与细线垂直时最小，根据平衡条件求解；
（2）根据动能定理求出第一次到达B点的速度，结合牛顿第二定律求出细线的拉力，从而结合牛顿第三定律求出小球对细线的拉力．
（3）挡板对小球做的功等于小球机械能的该变量，根据机械能的变化量求出挡板对小球做的功．通过假设法，结合几何关系判断小球是否会发生第二次撞击挡板．

解答 解：（1）当外力F垂直于绳子方向时，外力最小，
F_min=mgsinα．
（2）设小球第一次向左摆到B点前瞬间的速度为v，细线上的拉力为F，小球由A到B的过程中，根据动能定理得，
$mgL（1-cosα）=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
由牛顿第二定律得，$F-mg=m\frac{{v}^{2}}{L}$，
解得F=mg（3-2cosα），
由牛顿第三定理，对细线的拉力F′=F=mg（3-2cosα）．
（3）挡板对小球做的功等于小球机械能的该变量，
即W=E₂-E₁，
取小球在B点的重力势能为零，
E₂=mgl（1-cosβ），E₁=mgl（1-cosα），
解得W=mgl（cosα-cosβ）．
判断：小球会第二次撞击挡板．
理由：假设小球摆到右侧最高点时小球的位置为D，作图几何关系可以证明D点比C点的对称点C′位置高，即可说明小球能第二次撞击挡板．
答：（1）小球静止在A处时，所受外力的最小值为mgsinα；
（2）小球第一次向左摆到B点前瞬间对细线的拉力大小为mg（3-2cosα）；
（3）小球与挡板第一次垂直撞击过程中，挡板对小球做的功为mgl（cosα-cosβ）．小球会第二次撞击挡板．理由：假设小球摆到右侧最高点时小球的位置为D，作图几何关系可以证明D点比C点的对称点C′位置高，即可说明小球能第二次撞击挡板．

点评 本题主要考查了共点力平衡条件、向心力公式以及动能定理的直接应用，要求同学们能正确分析小球的受力情况和运动情况，注意求变力做功时，只能使用功能关系进行求解，难度适中．