Question

9．为转播电视节目，发射地球的同步卫星，它在赤道上空某高度处随地球同步运转，地球半径为6400km，地球表面重力加速度g取10m/s²，求它的高度和线速度大小．

Answer 1

分析 在地球表面重力与万有引力相等，同步卫星的周期和地球自转周期相同，根据万有引力提供圆周运动向心力求卫星的高度和线速度．

解答 解：在地球表面重力与万有引力相等有$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$
可得GM=gR²
同步卫星绕地球圆周运动的向心力由万有引力提供，据此有：
G$\frac{mM}{（R+h）^{2}}=m（R+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
可得同步卫星距地面的高度$h=\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R=\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$=$\root{3}{\frac{10×（6400×1{0}^{3}）^{2}×（24×3600）^{2}}{4×3.1{4}^{2}}}-6400×1{0}^{3}m$=3.62×10⁷m
同步卫星的线速度$v=\frac{2π（R+h）}{T}=\frac{2×3.14×（6400×1{0}^{3}+3.62×1{0}^{7}）}{24×3600}m/s$=3096m/s．
答：同步卫星的高度为3.62×10⁷m，线速度大小为3096m/s．

点评 万有引力提供圆周运动向心力，在地球表面重力与万有引力相等，抓住这两点是解决此类问题的关键．