Question

11．在工厂的流水线上安装水平传送带，可以把沿斜面滑下的工件用水平传送带进行传送，可大大提高工作效率．如图所示，一倾角30°的光滑斜面下端与水平传送带相连，一工件从h=0.2m高处的A点由静止滑下后到达B点的速度为v₁，接着以v₁滑上水平放置的传送带．已知：传送带长L=7m，向右保持v₀=4m/s的运行速度不变，工件与传送带间的动摩擦因数μ=0.2，空气阻力不计，重力加速度g取10m/s²，工件可看成质点．求：

（1）下滑到B点的速度V₁等于多少？
（2）求工件从A点由静止下滑到离开传送带C点所用的时间．
（3）假设传送带是白色的，工件为一煤块，则工件从B滑到C的过程中，在传送带上留下黑色痕迹的长度．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求出工件下滑到B点的速度大小．
（2）根据牛顿第二定律和速度时间公式求出工件在斜面上的运动时间，根据牛顿第二定律和运动学公式求出在传送带上匀加速运动的时间和位移，从而得出匀速运动的位移，求出匀速运动的时间，从而得出总时间．
（3）在相对滑动的过程中，结合传送带的位移和工件的位移求出相对滑动的位移大小，即黑色痕迹的长度．

解答 解：（1）根据动能定理得：$mgh=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，
解得：${v}_{1}=\sqrt{2gh}=\sqrt{2×10×0.2}$m/s=2m/s．
（2）在斜面上下滑的加速度为：${a}_{1}=gsinθ=10×\frac{1}{2}m/{s}^{2}=5m/{s}^{2}$，
则在斜面上的运动时间为：${t}_{1}=\frac{{v}_{1}}{{a}_{1}}=\frac{2}{5}s=0.4s$，
在传送带上做匀加速运动的时间为：${t}_{2}=\frac{{v}_{0}-{v}_{1}}{{a}_{2}}=\frac{4-2}{0.2×10}s=1s$，
匀加速运动的位移为：${x}_{1}=\frac{{{v}_{0}}^{2}-{{v}_{1}}^{2}}{2{a}_{2}}=\frac{16-4}{2×2}m=3m$，
匀速运动的时间为：${t}_{3}=\frac{L-{x}_{1}}{{v}_{0}}=\frac{7-3}{4}s=1s$，
则工件从A点由静止下滑到离开传送带C点所用的时间为：t=t₁+t₂+t₃=0.4+1+1s=2.4s．
（3）在传送带上留下黑色痕迹的长度为：△x=v₀t₂-x₁=4×1-3m=1m．
答：（1）滑到B点的速度V₁等于2m/s；
（2）工件从A点由静止下滑到离开传送带C点所用的时间为2.4s．
（3）工件从B滑到C的过程中，在传送带上留下黑色痕迹的长度为1m．

点评 解决本题的关键是理清物块在传送带上的运动规律，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解．