Question

如图所示，质量为m的小球P与穿过光滑平板中央小孔O的轻绳相连，用力拉着使P做半径为a的匀速圆周运动，角速度为ω．求：
（1）拉力F多大？
（2）若使绳突然从原状态迅速放开后再拉紧，使P做半径为b的匀速圆周运动．则放开过程的时间是多少？
（3）P做半径为b的匀速圆周运动时角速度多大？拉力多大？

Answer 1

分析：（1）球匀速圆周运动，绳子对小球的拉力等于合力，提供向心力；
（2）绳子放开后，球沿切线方向飞出，做匀速直线运动，结合几何关系，可求运动时间；
（3）绳子放开后，球沿切线方向飞出，做匀速直线运动，到绳子突然张紧时，将速度沿切线方向和半径方向正交分解，沿半径方向的分速度突然减为零，以切线方向的分速度绕b轨道匀速圆周运动，由牛顿第二定律和线速度与角速度的关系公式可求拉力与角速度！

解答：解：（1）小球受重力G、支持力N、绳子拉力，平板中央小孔O光滑，故绳子对小球的拉力等于F，合力提供向心力；
故拉力F=mω²a．
（2）绳子放开后，球沿切线方向飞出，做匀速直线运动，如图；

由几何关系，位移x=

b2-a2

；
s速度为v_a=ωa；
故放开过程的时间为

b2-a2

ωa

．
（3）小球沿圆弧切线方向飞出后，到达b轨道时，绳子突然张紧，将速度沿切线方向和半径方向正交分解，沿半径方向的分速度突然减为零，以切线方向的分速度绕b轨道匀速圆周运动，如图；

由几何关系得到，由v_b=v_asinθ=

a

b

v_a；
因而，ω_b=

vb

b

=

a va

b2

；
由向心力公式得，F=mω_b²=

ma2 v 2 a

b3

．
故P做半径为b的匀速圆周运动时角速度为

ava

b2

，拉力为

ma2 v a 2

b3

．

点评：本题关键要分三个过程分析清楚小球的运动情况和受力情况，然后根据牛顿第二定律和向心力公式列式求解，注意绳子的速度会发生突变！