Question

如图，xOy平面内存在着沿y轴正方向的匀强电场．一个质量为m，带电荷量为+q的粒子从坐标原点O以速度v₀沿x轴正方向开始运动．当它经过图中虚线上的M（2

3

a，a）点时，撤去电场，粒子继续运动一段时间后进入一个矩形匀强磁场区域（图中未画出），又从虚线上的某一位置N处y轴负方向运动并再次经过M点．已知磁场方向垂直xOy平面（纸面）向里，磁感应强度大小为B，不计粒子的重力．试求：
（1）电场强度的大小；
（2）N点的坐标；
（3）矩形磁场的最小面积．

Answer 1

如图是粒子的运动过程示意图．
（1）粒子从O到M做类平抛运动，设时间为t，则有
2

3

a=v0t                   
a=

1

2

×

qE

m

t2                  
得E=

mv02

6qa

                    
电场强度大小为：E=

mv2

6qa

（2）设粒子运动到M点时速度为v，与x方向的夹角为α，则：vy=

qE

m

t=

3

3

v0            
v=

v 20 + v 2y

=

2 3

3

v0          
tanα=

vy

v0

=

3

3

，即α=300，
由题意知，粒子从P点进入磁场，从N点离开磁场，粒子在
磁场中以O′点为圆心做匀速圆周运动，设半径为R，
则：qBv=m

v2

R

，
代入数据得粒子做圆周运动的半径为：
R=

mv

qB

=

2 3 mv0

3qB

             
由几何关系知：β=

1

2

∠PMN=300   
所以N点的纵坐标为yN=

R

tanβ

+a=

2mv0

qB

+a  
横坐标为xN=2

3

a                        
故N点的坐标为（2

3

a，

2πv0

qB

+a）
（3）当矩形磁场为图示虚线矩形时的面积最小．则矩形的两个边长分别为
L1=2R=

4 3 mv0

3qB

                     
L2=R+Rsinβ=

3 mv0

qB

               
所以矩形磁场的最小面积为：Smin=L1×L2=

4m2 v 20

q2B2

   
矩形磁场最小面积为Smin=

4m2 v 20

q2B2