Question

如图所示，水平传送带AB的右端与在竖直面内的用内径光滑的钢管弯成的“9”形固定轨道相接，钢管内径很小．传送带的运行速度v₀=4.0m/s，将质量m=1kg的可看做质点的滑块无初速地放在传送带的A端．已知传送带长度L=4.0m，离地高度h=0.4m，“9”字全髙H=0.6m，“9”字上半部分圆弧半径R=0.1m，滑块与传送带间的动摩擦因数μ=0.2，重力加速度g=10m/s²，试求：
（1）滑块从传送带A端运动到B端所需要的时间．
（2）电动机由于传送滑块而多消耗的电能为
（3）滑块滑到轨道最高点C时对轨道作用力的大小和方向．
（4）滑块从D点抛出后的水平射程．

Answer 1

分析：（1）滑块放在传送带上，开始阶段做匀加速运动，由牛顿第二定律求出加速度，由速度公式求出滑块加速到与传送带相同所需要的时间，由位移公式求出加速过程的位移，判断滑块是否到达B点．若没有到达B点，之后滑块做匀速直线运动，再求出匀速运动的时间．
（2）传送滑块的过程中，滑块获得了动能，系统摩擦生热，根据能量守恒求解电动机由于传送滑块而多消耗的电能．
（3）滑块由B到C的过程中只有重力做功，其机械能守恒，求出滑块到达最高点时的速度．到达最高时，由重力和轨道对滑块的压力提供滑块的向心力，由牛顿第二、三定律求解滑块滑到轨道最高点C时对轨道作用力的大小和方向．
（4）滑块从C到D的过程中机械能守恒，求出滑块到D点时的速度．滑块从D点滑出后做平抛运动，根据运动的分解法求出水平射程．

解答：解：（1）滑块在传送带上加速运动时，由牛顿第二定律得知
  μmg=ma
得a=2m/s²
滑块加速到与传送带速度相同所需时间为 t=

v0

a

=2s
此过程位移s=

1

2

at²=4m
此时物块恰好到达B端，所以滑块从A端运动到B端的时间为t=2s．
（2）在传送滑块的过程中，摩擦生热为Q=μmg（v₀t-s）=0.2×10×（4×2-4）J=8J
故电动机由于传送滑块而多消耗的电能为
  E=Q+

1

2

m

v

2 0

=8J+

1

2

×1×42J=16J
（3）滑块由B到C的过程中机械能守恒，则有
  mgH+

1

2

m

v

2 C

=

1

2

m

v

2 0

滑块滑到轨道最高点C时，由牛顿第二定律得
  F_N+mg=m

v 2 C

R

联立上两式解得，F_N=30N
根据牛顿第三定律得到，滑块对轨道作用力的大小F_N′=F_N=30N，方向竖直向上．
（4）滑块从C到D的过程中机械能守恒，得：mg?2R+

1

2

m

v

2 C

=

1

2

m

v

2 D

解得v_D=2m/sD点到水平地面的高度HD=h+（H-2R）=0.8m
由H_D=

1

2

gt′²得，t′=

2HD g

=0.4s
所以水平射程为x=v_Dt′=1.1m
答：
（1）滑块从传送带A端运动到B端所需要的时间是2s．
（2）电动机由于传送滑块而多消耗的电能为16J．
（3）滑块滑到轨道最高点C时对轨道作用力的大小为30N，方向竖直向上．
（4）滑块从D点抛出后的水平射程是1.1m．

点评：本题按程序进行分析，根据牛顿定律分析运动过程．对于圆周运动，根据机械能守恒和牛顿运动定律结合求力是常用的方法．