Question

18．一物体在距某一行星表面某一高度处由静止开始做自由落体运动，依次通过A、B、C三点，已知AB段与BC段的距离均为0.06m，通过AB段与BC段的时间分为0.1s与0.05s．求：
（1）该星球表面重力加速度值；
（2）若该星球的半径为180km，则环绕该行星的卫星做圆周运动的最小周期为多少．

Answer 1

分析 （1）分别对AB、AC段由位移公移列式，联立可求得该行量表面的重力加速度；
（2）当卫星在行星表面飞行时，运行周期最小，则由万有引力定律的应用可求得最周期．

解答 解：（1）设通过A点的速度为${v}_{0}^{\;}$，行星表面的重力加速度为g，环绕该行星的卫星做圆周运动的最小周期为T，行星质量为 M，卫星质量为m，行星的半径为R
由公式$x={v}_{0}^{\;}t+\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}$得
对AB段有：
$0.06=0.1{v}_{0}^{\;}+\frac{1}{2}g（0.1）_{\;}^{2}①$
对AC段有：
$0.12=0.15{v}_{0}^{\;}+\frac{1}{2}g（0.15）_{\;}^{2}②$
由①②得：$g=8m/{s}_{\;}^{2}$
（2）近地卫星最快，周期最小，有：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R①$
在行星表面有：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg②$
联立得$T=2π\sqrt{\frac{{R}_{\;}^{3}}{GM}}=2π\sqrt{\frac{R}{g}}=2π\sqrt{\frac{180000}{10}}=120π\sqrt{5}$
答：（1）该星球表面重力加速度值为$8m/{s}_{\;}^{2}$；
（2）若该星球的半径为180km，则环绕该行星的卫星做圆周运动的最小周期为$120π\sqrt{5}$s

点评 本题为万有引力与运动学公式的结合，应明确天体的运动中万有引力充当向心力，而在地球表面处万有引力可以近似看作等于重力；记住“卫星越高越慢、越低越快”．