Question

12．如图所示，在高度为L、足够宽的区域MNPQ内，有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B．质量为m、边长为L、电阻为R的正方形导线框abcd，在MN上方某一高度由静止开始自由下落．当bc边进入磁场时，导线框恰好做匀速运动．已知重力加速度为g，不计空气阻力，求：
（1）导线框刚下落时，bc边距磁场上边界MN的高度h；
（2）导线框离开磁场的过程中，通过导线框某一横截面的电量q；
（3）导线框穿越磁场的整个过程中，导线框中产生的热量Q．

Answer 1

分析 （1）线框速度达到稳定时，说明线框受力平衡即线框所受重力和安培力平衡，根据安培力的大小求出此时感应电流的大小，根据欧姆定律求出感应电动势从而求出此时线框的速度，根据动能定理可以求出bc边距磁场上边界MN的高度h；
（2）根据感应电荷量表达式q=$\frac{△Φ}{R}$求解电量；
（3）当线框速度已达稳定时，从能量守恒的角度分析处理，线框减少的重力势能等于线框增加的动能与产生的热量之和，计算出线框减少的势能再计算出产生的热量即可．

解答 解：设线框进入磁场时的速度为v，由于导线框恰好做匀速运动，所以安培力与重力大小相等，方向相反，即mg=F_安；
线框bc边切割磁感线产生的电动势为：E=BLv
故线框中产生的电流为：I=$\frac{E}{R}$
线框在磁场中所受安培力为：F_安=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$
线框进入磁场前做自由落体运动，根据动能定理可以求出线框进入磁场时的速度v，即：
mgh=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-0$
所以：h=$\frac{{v}^{2}}{2g}$=$\frac{{m}^{2}g{R}^{2}}{{2B}^{4}{L}^{4}}$
（2）根据法拉第电磁感应定律，离开磁场的过程中产生的感应电动势：$E=\frac{△Φ}{△t}=\frac{B{L}^{2}}{△t}$
感应电流：$I=\frac{E}{R}$
通过导线框某一横截面的电量：q=I△t
联立解得：$q=\frac{B{L}^{2}}{R}$
（3）由于磁场的宽度与线框的宽度相等，所以线框匀速穿过整个的磁场，整个的过程中线框减小的重力势能转化为线框产生的热量，即：
Q=mg•2L
答：（1）导线框刚下落时，bc边距磁场上边界MN的高度是$\frac{{m}^{2}g{R}^{2}}{{2B}^{4}{L}^{4}}$；
（2）导线框离开磁场的过程中，通过导线框某一横截面的电量是$\frac{B{L}^{2}}{R}$；
（3）导线框穿越磁场的整个过程中，导线框中产生的热量是mg2L．

点评 本题是电磁感应与力学知识的综合，安培力是联系电磁感应和力学的桥梁，安培力的分析和计算是这类问题的关键．