Question

如图所示，P为位于某一高度处的质量为m的物块，B为位于水平地面上质量为M的特殊长平板，，平板与地面间的动摩擦因数μ=0.02，在平板的表面上方，存在一定厚度的“相互作用区域”，如图中画虚线的部分，当物块P进入相互作用区时，便受到B对它竖直向上的恒力f作用，其中f=kmg，k=11，f对P的作用恰好使P不与B的上表面接触；在水平方向上P、B之间没有相互作用力.已知物块P开始下落时刻，平板B向右的速度为v₀=10m/s，P从开始下落到刚到达相互作用区所经历的时间为t₀=2 s.设B板足够长，保证物块P总能落入B板上方的相互作用区.求：

(1)物块P从开始自由下落到再次回到初始位置所经历的时间.

(2)当B开始停止运动的那一时刻，P已经回到初始位置多少次.

Answer 1

解法一：(1)依题意，物块P在长木板B的上方做周期性运动，设物块刚进入相互作用区时的速度为v，则v=gt₀  ①

P进入相互作用区后的加速度为a，由牛顿第二定律可得a==(k-1)g，设向下减速运动的时间为t，则v=at=(k-1)gt  ② 

①②两式联立解得t=t₀

故物块P运动的周期T=2(t₀+t)==4.4 s  ③ 

(2)物块P未进入相互作用区时，B的加速度a₁==μg  ④

物块P进入相互作用区时，B的加速度a₂=  ⑤

则2t₀时间内，B的速度减小量Δv₁=a₁·2t₀=2μgt₀  ⑥

在2t时间内，B的速度减少量Δv₂=a₂·2t=2μg  ⑦ 

故在P运动的一个周期内，B的速度减少量Δv=Δv₁+Δv₂=2μgt₀+2μg ⑧

P回到初始位置的次数n=  ⑨

联立⑧⑨两式解得n=10.3，n应取整数，故n=10 

解法二：(1)物块P从开始下落到减速运动速度为零的全过程中，根据动量定理，有mg(t₀+t)-ft=0

则t= 

故T=2(t₀+t)==4.4 s 

(2)设在P运动的一个周期T内，B的速度减少量为Δv，根据动量定理有μMg·2t₀+μ(Mg+f)·2t=MΔv 

解得Δv=2μgt₀+2μg(1+)·

P回到初始位置的次数n=

联立解得n=10.3，n应取整数，故n=10