Question

19．质量是3000kg、额定功率为120kW的汽车，在平直公路上行驶中的最大速度为30m/s．若汽车从静止开始做匀加速直线运动，加速度大小为2m/s²，运动中的阻力不变．求：
（1）3s末汽车的瞬时功率；
（2）汽车做匀加速运动的时间；
（3）汽车在匀加速运动中牵引力所做的功．

Answer 1

分析 （1）汽车匀加速运动启动，由于牵引力不变，根据P=Fv可知随着汽车速度的增加，汽车的实际功率在增加，此过程汽车做匀加速运动，当实际功率达到额定功率时，功率不能增加了，随着速度增大，牵引力减小．当牵引力减小到等于阻力时，加速度等于零，速度达到最大值．根据平衡条件和功率公式P=Fv求解阻力大小．
求3s末的瞬时功率时，首先要知道3s末汽车所处的运动状态．可先根据牛顿第二定律和运动学公式求出匀加速直线运动的时间，再判断汽车的状态，求解瞬时功率．
（3）根据运动学位移公式求出匀加速运动的位移，由功的公式求解汽车在匀加速运动中牵引力所做的功．

解答 解：（1、2）当汽车匀速直线运动时，速度达到最大，此时牵引力与阻力大小相等，则得：F=f
又 由P=Fv_m
得阻力为：f=$\frac{P}{{v}_{m}}=\frac{120000}{30}N=4000N$．
当汽车的实际功率达到额定功率时，匀加速运动结束，设汽车做匀加速运动的时间为t，末速度为v．
汽车做匀加速运动的末速度为：v=$\frac{P}{F}$
根据牛顿第二定律得：F-f=ma
由运动学公式得：v=at
联立得：t=$\frac{P}{a（f+ma）}=\frac{120000}{2×（4000+3000×2）}s=6s$
则3s末汽车在匀加速运动，则3s末汽车的瞬时功率为：P₃=Fv₃=（f+ma）at₃=（4×10³+3000×2）×2×3W=6×10⁴W．
（3）匀加速运动的位移为 x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}×2×{6}^{2}=36m$
所以汽车在匀加速运动中牵引力所做的功 W=Fx=1×10⁴×36J=3.6×10⁵J
答：（1）3s末汽车的瞬时功率为6×10⁴W．
（2）汽车做匀加速运动的时间是6s．
（3）汽车在匀加速运动中牵引力所做的功为3.6×10⁵J．

点评 本题关键要能对汽车恒定加速度启动时进行动态分析，能画出动态过程的方框图，公式P=Fv，P指实际功率，F表示牵引力，v表示瞬时速度．当牵引力等于阻力时，机车达到最大速度．