Question

（15分）如图甲所示，两平行金属板间接有如图乙所示的随时间t变化的交流电压u，金属板间电场可看做均匀、且两板外无电场，板长L=0.2m，板间距离d=0.1m，在金属板右侧有一边界为MN的匀强磁场，MN与两板中线OO′ 垂直，磁感应强度 B=5×10^－3T，方向垂直纸面向里。现有带正电的粒子流沿两板中线OO′连续射入电场中，已知每个粒子的比荷=10⁸C/kg，重力忽略不计，在0-0.8×10^－5s时间内两板间加上如图乙所示的电压（不考虑极板边缘的影响）。已知t = 0时刻进入两板间的带电粒子恰好在0.2×10^－5s时刻经极板边缘射入磁场。（不考虑粒子间相互影响及返回板间的情况）。
求：

（1）求两板间的电压U₀
（2）0-0.2×10^－5s时间内射入两板间的带电粒子都能够从磁场右边界射出，求磁场的最大宽度
（3）若以MN与两板中线OO′ 垂直的交点为坐标原点，水平向右为x轴，竖直向上为y轴建立二维坐标系，请写出在0.3×10^－5s时刻射入两板间的带电粒子进入磁场和离开磁场（此时，磁场只有左边界，没有右边界）时的位置坐标。
（4）两板间电压为0，请设计一种方案：让向右连续发射的粒子流沿两板中线OO′射入，经过右边的待设计的磁场区域后，带电粒子又返回粒子源。

Answer 1

（1）250 V/m（2）0.2 m（3）若向上偏转：进入坐标为 (  0  ;   0.0125 ) (m)
离开磁场左边界坐标为 (  0 ;   0.4125 ) (m)      若向下偏转：进入坐标为 (  0  ;  - 0.0125 ) (m)  离开磁场左边界坐标为 (  0 ;   0.3875) (m) （4）见解析

(1) （3分）电荷在电场中作类平抛运动 
d/2=at²/2 （1分）  a="d/" t²=2.5×10¹⁰  (m/s²)
Eq="ma  " （1分） E=ma/q=2.5×10¹⁰/10⁸ ="250" (V/m)
U₀="Ed=250×0.1=25" (V) （1分）
(2) （3分） 在0---0.2×10^-5S时间内, 0.2×10^-5S时刻射入两板间的带电粒子进入磁场并能够从磁场右边界射出,则其他粒子也都能从磁场的右边界射出。粒子进入磁场作匀速圆周运动，则：
Bqv=mv²/R₁      R₁=mv₀/Bq  （1分）
由第一问可知：v₀=L/t=0.2/0.2×10^-5 =10⁵ (m/s) （1分）
R₁=10⁵/5×10^-3×10⁸="0.2" (m) 
磁场的最大宽度为  D=R₁=0.2 (m) （1分）
(3) （7分） 0.3×10^-5S时刻进入的粒子先做匀速直线运动,再做类平抛运动. 类平抛运动时间应为t=0.1×10^-5S .
若向上偏转,根据平抛运动公式得: y₁=at²=2.5×10¹⁰×(0.1×10^-5)²/2="0.0125" (m) （1分）
进入坐标为 (  0  ;   0.0125 ) (m)  （1分）
进入磁场作匀速圆周运动,  R₂="mv/Bq"
离开磁场时的坐标 y₂=y₁+2R₂cosθ=y₁+2 mv₀/Bq
y₂=0.0125+2×10⁵/5×10^-3×10⁸="0.4125" (m)（1分）
离开磁场左边界坐标为 (  0 ;   0.4125 ) (m) （1分）
若向下偏转,根据平抛运动公式得: y₁=at²=2.5×10¹⁰×(0.1×10^-5)²/2="0.0125" (m)
进入坐标为 (  0  ;  - 0.0125 ) (m)   （1分）
进入磁场作匀速圆周运动,  R₂="mv/Bq"
离开磁场时的坐标 y₂= 2R₂cosθ- y₁=" 2" mv₀/Bq- y₁
y₂=2×10⁵/5×10^-3×10⁸-0.0125="0.3875(m)" （1分）
离开磁场左边界坐标为 (  0 ;   0.3875) (m) （1分）
(4) （2分）(只要合理均给分)