Question

（2006?宜昌模拟）如图所示，光滑绝缘水平面的上方空间被竖直的分界面MN分隔成两部分，左侧空间存在一水平向右的匀强电场，场强大小 E₁=

mg

q

右侧空间有一长为R=0.8m的绝缘轻绳，绳的一端固定于O点，另一端拴一个质量m₂=m的不带电的小球B在竖直平面内做顺时针方向的圆周运动，运动到最低点时速度大小v_B=8m/s，小球B在最低点时与地面接触但没有弹力．在MN左侧空间中有一个质量为m₁=m的带正电的物体A，电荷量大小为q，在水平面上与MN界面水平间距为L处由静止释放，恰好与运动到最低点处的B发生正碰，并瞬间粘合成一个整体C，碰后瞬间在MN的右侧空间立即加上一竖直向上的匀强电场，场强大小E₂=3E₁（g=10m/s²）
（1）如果L=0.2m，求出整体C运动到最高点时的瞬时速度大小，及此时绳的拉力是物体重力的多少倍？
（2）当L满足什么条件时，整体C可以在竖直面内做一个完整的圆周运动？

Answer 1

分析：（1）对物体A，根据动能定理求出A与B碰撞前的速度，碰撞过程，由动量守恒求出碰后的共同速度．对于共同体，从最低点到最高点的过程，根据动能定理求出到达最高点的速度大小，由牛顿第二定律求出绳子的拉力大小．
（2）对于整体C，所受的电场力qE₂=3mg，方向竖直向上，与总重力2mg的合力方向竖直向上，在最低点有最小速度．根据C顺时针和逆时针转动，根据动量守恒和能量守恒求出L．

解答：解：（1）物A与B碰前速度为v₀，有动能定理：
  qEL=

1

2

m

v

2 0

∴v₀=2 m/s
A、B作用动量守恒：mv_B-mv₀=2mv
∴v=3m/s，即C顺时针转动
C有最点→最高点速度为v₁，有动能定理：

1

2

?2m

v

2 1

-

1

2

?2mv2=（qE₂-2mg）?2R
∴v₁=5m/s
在最高点处：T+2mg-qE₂=2m

v 2 1

R

∴T=7.25 mg
（2）合成C后：
∵qE₂=3mg＞2mg，方向竖直向上
∴C的合力竖直向上，
即C在最低处有最小速度为v₂，则
qE₂-2mg=2m

v 2 2

R

解得，v₂=2m/s
令C顺时针：mv_B-mv₀=2mv₂，
∴v₀=4m/s，
则根据qEL=

1

2

m

v

2 0

解得，L=0.8m
令C逆时针：mv₀-mv_B=2mv₂，
∴v₀=12m/s，
则根据qEL=

1

2

m

v

2 0

得L=7.2m
即L≤0.8m或L≥7.2m，整体C在竖直面内做一个完整的圆周运动．
答：（1）如果L=0.2m，整体C运动到最高点时的瞬时速度大小是5m/s，此时绳的拉力是物体重力的7.25倍．
（2）当L满足L≤0.8m或L≥7.2m时，整体C可以在竖直面内做一个完整的圆周运动．

点评：本题是动能定理、向心力、动量守恒守恒定律的综合应用，难点是分析整体C做完整圆周运动的条件．