Question

10．在竖直平面内，一根光滑金属杆弯成图示形状，相应的曲线方程为y=2.5cos（kx+$\frac{2π}{3}$）（单位：m），式中k=1m^-1．将一光滑小环套在该金属杆上，并从x=0处以v₀=5m/s的初速度沿杆向下运动，取重力加速度g=10m/s²，下列说法正确的是（　　）

• A． 小环沿金属杆运动过程中，小球与地球组成的系统机械能守恒
• B． 小环运动到x=$\frac{π}{3}$时的速度大小是5m/s
• C． 小环运动到x=$\frac{π}{2}$m时的速度大小是5m/s
• D． 该小环在x轴方向最远能运动到x=$\frac{5}{6}π$m处

Answer 1

分析 环在运动的过程中，机械能守恒，根据曲线方程可以确定环的位置，即环的高度的大小，再根据机械能守恒可以求得环的速度的大小．根据机械能守恒可求出球达到最远处时的高度h，然后根据h=y₁-y₂求出y，代入曲线方程即可求出最远处的x．

解答 解：A、金属杆光滑，小环在运动过程中只有重力做功，小球与地球组成的系统机械能守恒，故A正确；
B、由曲线方程知，环在x=0处时y₁=2.5cos（kx+$\frac{2π}{3}$）=-$\frac{2.5}{2}$m=-1.25m；在x=$\frac{π}{3}$时，y₂=-2.5m
设小环运动到x=$\frac{π}{3}$时的速度大小是v．选y=0处为零势能参考平面，由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv₀²+mgy₁=$\frac{1}{2}$mv²+mgy₂，解得：v＞5m/s，故B错误．
C、设小环运动到x=$\frac{π}{2}$m时的速度大小为v′．当x=$\frac{π}{2}$m时，y₃=2.5cos（kx+$\frac{2π}{3}$）=-$\frac{5\sqrt{3}}{4}$m．
选y=0处为零势能参考平面，由机械能守恒定律有：$\frac{1}{2}$mv₀²+mgy₁=$\frac{1}{2}$mv²+mgy₃，解得：v′=5$\root{4}{3}$m/s，故C错误．
D、由机械能守恒定律可知：mg△h=$\frac{1}{2}$mv₀²得：△h=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$=$\frac{{5}^{2}}{20}$m=1.25m，即知小球上升到最高点时纵坐标y=0，将y=0代入：y=2.5cos（kx+$\frac{2π}{3}$）m，由数学知识可知x=x=$\frac{5}{6}π$m，故D正确．
故选：AD

点评 本题和数学的上的方程结合起来，根据数学方程来确定物体的位置，从而利用机械能守恒来解题．