Question

12．半径为R的半圆柱形玻璃砖折射率为n，截面如图所示，O为圆心，光线①沿半径aO方向射入，恰好在O点发生全反射，另一条平行于①的光线②从最高点b射入玻璃砖，折射到MN上的d点，已知真空中光速为c，求：
（1）Od的距离；
（2）光线②从b点到d点传播的时间．

Answer 1

分析 （1）根据光线①沿半径方向进入玻璃后恰好在O点发生全反射，由公式sinC=$\frac{1}{n}$求得临界角C，进而根据折射定律及几何关系即可求得OD的距离．
（2）由几何关系求解出b、d间的距离，由v=$\frac{c}{n}$光在玻璃砖中传播速度，即可求解时间．

解答 解：（1）据题：光线①沿半径aO方向射入，恰好在O点发生全反射，则该光线在MN面上的入射角等于临界角C
即有 sinC=$\frac{1}{n}$
对于光线②，有 n=$\frac{sini}{sinr}$，i=C
则得 sinr=$\frac{1}{{n}^{2}}$
三角形bOd为直角三角形，L_Od=$\frac{R}{cosr}$=$\frac{R}{\sqrt{1-si{n}^{2}r}}$
可得：${L_{Od}}=\frac{R}{{\sqrt{{n^4}-1}}}$
（2）光传播距离 ${L_{bd}}=\frac{{{n^2}R}}{{\sqrt{{n^4}-1}}}$
光传播速度 $v=\frac{c}{n}$
光传播的时间 $t=\frac{{{n^3}R}}{{c\sqrt{{n^4}-1}}}$
答：
（1）Od的距离是$\frac{R}{\sqrt{{n}^{4}-1}}$；
（2）光线②从b点到d点传播的时间为$\frac{{n}^{3}R}{c\sqrt{{n}^{4}-1}}$．

点评 本题是简单的几何光学问题，其基础是作出光路图，根据几何知识确定入射角与折射角，根据折射定律求解．