Question

2007年我国成功地发射了一颗绕月球运行的探测卫星“嫦娥一号”．“嫦娥一号”将在距离月球表面高为h的轨道上绕月球做匀速圆周运动．
（1）若已知月球半径为R_月，月球表面的重力加速度为g_月．则“嫦娥一号”环绕月球运行的周期为多少？
（2）若已知月球半径为地球半径的四分之一，月球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的六分之一，则月球的“第一宇宙速度”约为多大（保留1位有效数字）？

Answer 1

分析：（1）根据绕月卫星的万有引力等于向心力和月球表面重力等于万有引力，联立列式求解出周期；
（2）根据贴近星球表面卫星受到的重力等于向心力列式计算第一宇宙速度．

解答：解：（1）：（1）绕月卫星绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，设卫星的质量为m、轨道半径为r、月球质量为M，有
G

Mm

(R月+h)2

=m(

2π

T

)2(R月+h)
 月球表面物体所受的重力等于万有引力，则
G

Mm

R 2 月

=mg月
由上面二式解得
T=2π

(R月+h)3 g月R月2

即“嫦娥一号”环绕月球运行的周期为2π

(R月+h)3 g月R月2

．
（2）在星球表面，由重力提供环绕运动物体的向心力
mg=m

v2

R

，
可得该星球的第一宇宙速度
v=

gR

v月

v地

=

g月R月 g地R地

=

1 6 × 1 4

=

1

2 6

故v月=

1

2 6

v地=

7.9

2 6

=1.6km/s
保留1位有效数字，则v_月=2km/s．
答：（1）“嫦娥一号”环绕月球运行的周期为2π

(R月+h)3 gR月2

．
（2）月球的“第一宇宙速度”约为2km/s．

点评：本题关键掌握三个关系：第一，绕月卫星受到的万有引力等于向心力，第二，月球表面物体所受的重力等于万有引力，第三，近月卫星和近地卫星受到的重力等于向心力．