Question

15．一矩形线圈，面积是0.05m²，共100匝，线圈电阻为2Ω，外接电阻为R=8Ω，线圈在磁感应强度为B=$\frac{1}{π}$T的匀强磁场中以300r/min的转速绕垂直于磁感线的轴匀速转动，如图所示，若从中性面开始计时，求：
（1）线圈中感应电动势的瞬时值表达式．
（2）线圈从开始计时经$\frac{1}{30}$s时，线圈中电流的瞬时值．
（3）外电路电阻R两端电压的瞬时值表达式．
（4）外电路电阻R上消耗的电功率．

Answer 1

分析 （1）从中性面开始计时，线圈中感应电动势的瞬时值表达式为e=E_msinωt，根据E_m=nBSω，求出感应电动势的最大值．角速度为ω=2πn．
（2）线圈从开始计时经$\frac{1}{30}$s时，将时间代入电流瞬时值表达式求出电流的瞬时值．
（3）根据串联电路电压与电阻成正比，运用比例法求出外电路电阻R两端电压的瞬时值表达式；
（4）根据电功率P=$\frac{{U}^{2}}{R}$，结合电阻的有效值，即可求解．

解答 解：
（1）线圈的角速度ω=2πn=2π$\frac{300}{60}$ rad/s=10πrad/s
感应电动势的最大值E_m=nBSω=100×$\frac{1}{π}$×0.05×10πV=50V，线圈中感应电动势的瞬时值表达式为e=50sin10πt（V）．
（2）t=$\frac{1}{30}$s时，e=50sin10πt=e=50sin10π×$\frac{1}{30}$V=25$\sqrt{3}$V，线圈中电流的瞬时值i=$\frac{e}{R+r}$=$\frac{25\sqrt{3}}{8+2}$A=4.33A．
（3）外电路电阻R两端电压的瞬时值表达式为u=$\frac{R}{R+r}$e=$\frac{8}{2+8}$50sin10πt（V）=40sin10πt（V）；．
（4）外电路电阻R两端的电压有效值为U=$\frac{40}{\sqrt{2}}$=20$\sqrt{2}$V；
根据电功率P=$\frac{{U}^{2}}{R}$=$\frac{（20{\sqrt{2}）}^{2}}{8}$=100W，
答：
（1）线圈中感应电动势的瞬时值表达式是e=50sin10πt（V）．
（2）线圈从开始计时经$\frac{1}{30}$s时，线圈中电流的瞬时值是4.33A．
（3）外电路电阻R两端电压的瞬时值表达式为40sin10πt（V）；
（4）外电路电阻R上消耗的电功率100W．

点评 交流电路中闭合电路欧姆定律同样适用，只不过电动势与电流要注意对应关系，瞬时值对应瞬时值，最大值对应最大值．