Question

【题目】处于自然状态的物体会不断地向外辐射电磁波，同时也会吸收由其他物体辐射来的电磁波，当辐射和吸收达到平衡时，物体的温度保持不变。如果某物体能完全吸收入射到其表面的各种波长的电磁波而不发生反射，这种物体就称为黑体。黑体也会同时向外辐射电磁波，已知单位时间内从黑体表面单位面积辐射出电磁波的能量I与黑体表面热力学温度T的4次方成正比，即I=σT4，其中σ为已知常量。

（1）若将火星看成表面温度相同的球形黑体，火星的半径为r，火星中心到太阳中心的距离为L，且L远远大于r，所以火星接收到来自太阳的辐射可视为垂直射到面积为πr2的圆面上。已知太阳向外辐射电磁波的总功率为P1。火星大气层对太阳辐射的吸收和反射、太阳辐射在传播过程中的能量损失，以及其他天体和宇宙空间的辐射均可忽略不计。

① 求在火星表面垂直于太阳和火星连线的单位面积接收到的来自太阳辐射的功率P0；

② 设火星向四面八方各个方向均匀辐射，请写出当吸收和辐射达到平衡时火星表面热力学温度T火的表达式。

（2）太阳辐射电磁波的能量来源于如图甲所示的太阳中心的“核反应区”。“核反应区”产生的电磁波在向太阳表面传播的过程中，会不断被太阳的其他部分吸收，然后再辐射出频率更低的电磁波。为了研究“核反应区”的温度，某同学建立如下简化模型：如图乙所示，将“核反应区”到太阳表面的区域视为由很多个“薄球壳层”组成，第1“薄球壳层”的外表面为太阳表面；各“薄球壳层”的内、外表面都同时分别向相邻内“薄球壳层”和外“薄球壳层”均匀辐射功率相等的电磁波（第1“薄球壳层”的外表面向太空辐射电磁波，最内侧的“薄球壳层”的内表面向“核反应区”辐射电磁波），如图丙所示；“核反应区”产生的电磁波的能量依次穿过各“薄球壳层”到达太阳的表面，每个“薄球壳层”都视为黑体，且辐射和吸收电磁波的能量已达到平衡，所以各“薄球壳层”的温度均匀且恒定。

已知太阳表面热力学温度为T1，所构想的“薄球壳层”数目为N，太阳半径R1与“核反应区”的半径RN满足R1=kRN（k为已知的常数），第1“薄球壳层”的外表面向外辐射电磁波的总功率为P1。请根据该同学建立的模型和题目中给出的信息，解答下列问题。

① 求第2、第3和第N“薄球壳层”向相邻的外“薄球壳层”辐射电磁波的功率P2、P3和PN；

② 若认为“核反应区”的温度和第N“薄球壳层”的温度TN相等，请推导出“核反应区”热力学温度TN的表达式。结合所得到TN的表达式，请说明该同学的模型是否合理？若不合理，请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）①；②T火=；（2）①2P1，3P1，NP1；②见解析

【解析】

（1）①在以太阳为中心L为半径的球面上，单位面积接收到的太阳辐射的功率为

这就是在火星表面垂直于太阳和火星连线上单位面积接收到的来自太阳辐射的功率。

②火星接收到的来自太阳的电磁辐射总功率

P火=

火星吸收太阳的电磁波的能量与自身辐射电磁波的能量达到平衡时有

P火=

根据题意有

I=σT火4

联立以上3式，解得

T火=

（2）①根据题意，当辐射和吸收电磁波的能量达到平衡时

对于第一层有

P2=2P1

对于第二层有

2P2= P3+P1

所以

P3=3P1

对于第三层有

2P3= P4+P2

所以

P4=4P1

由此可推知

PN=NP1

② 太阳表面单位时间内向外辐射的总功率为P1，则在太阳表面

同理，对于第N薄球壳层应有

联立以上两式得

这个模型不太合理。薄球壳的层数没有确定，而根据表达式，分的薄球壳层数越多，核反应层温度越高，当N趋近无穷大时，温度趋近于无穷高。但实际核反应层的温度应该是一个有限值。