Question

如图所示，水平放置的弹簧左端固定，小物块P（可视为质点）置于水平桌面上的A点，并与弹簧右端接触，此时弹簧处于原长．现用水平向左的推力将P缓慢地推至B点，此时弹簧的弹性势能为E_P=21J．撤去推力后，P沿桌面滑上一个停在光滑水平地面上的长木板Q上，已知P、Q的质量分别为m=2kg、M=4kg，A、B间的距离L_l=4m，A距桌子边缘C的距离L₂=2m，P与桌面及P与Q间的动摩擦因数都为μ=0.1，g取10m/s²，求：
（1）要使P在长木板Q上不滑出去，长木板至少多长？
（2）若长木板的长度为2.25m，则P滑离木板时，P和Q的速度各为多大？

Answer 1

（1）小物块从B点运动到C点的过程中，根据能量守恒定律得：
EP-

1

2

m

v

2c

=μmg(L1+L2)
解得：vc=

2[EP-μmg(L1+L2)] m

=3m/s
若小物块滑到木板右端时与长木板具有共同速度，设所对应的长木板具有最小的长度为L，根据动量守恒和能量守恒定律：
mv_c=（m+M）v
μmgLm=

1

2

m

v

2c

-

1

2

(m+M)v2
得：v=1m/s，L_m=3m
故要使P在长木板Q上不滑出去，长木板至少为3m．
（2）设小物块滑离木板时，它们的速度分别为v₁和v₂，根据动量守恒和能量守恒定律：
mv_c=mv₁+Mv₂
μmgL=

1

2

m

v

2c

-

1

2

m

v

21

-

1

2

M

v

22

得：v₁=2m/s，v₂=0.5m/s，

v

′1

=0(舍去)，

v

′2

=1.5m/s
故小物块滑离木板时，它们的速度分别为v₁=2m/s，v₂=0.5m/s．