Question

设北斗导航系统中的地球同步卫星在距地面高度为h的同步轨道做圆周运动．已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，万有引力常量为G．下列说法正确的是（　　）

• A．同步卫星运动的周期为2π

  R g

• B．同步卫星运行的线速度为

  g(R+h)

• C．同步轨道处的重力加速度为(

  R

  R+h

  )2g
• D．地球的平均密度为

  3g

  4πGR2

Answer 1

分析：地球同步卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律列式；在地球表面，重力等于万有引力，再次列式；然后联立求解．

解答：解：地球同步卫星在距地面高度为h的同步轨道做圆周运动，万有引力提供向心力，有：
G

Mm

(R+h)2

=ma=m

v2

R+h

=m(R+h)ω2=m(

2π

T

)2(R+h)
解得：
a=

GM

(R+h)2

                       ①
v=

GM R+h

                       ②
ω=

GM (R+h)3

                     ③
T=2π

(R+h)3 GM

                   ④
在地球表面，重力等于万有引力，有：
mg=G

Mm

R2

解得：GM=gR²                    ⑤
A、由④⑤两式解得同步卫星运动的周期为：T=2π

(R+h)3 GM

=2π

(R+h)3 gR2

，故A错误；
B、由②⑤两式解得同步卫星运行的线速度为：v=

GM R+h

=

gR2 R+h

，故B错误；
C、同步轨道处的重力加速度为：a=

GM

(R+h)2

=

gR2

(R+h)2

，故C正确；
D、根据万有引力提供向心力，有：
G

Mm

(R+h)2

=m(

2π

T

)2(R+h)
解得：M=

4π2(R+h)3

GT2

由⑤式得到：M=

gR2

G

故地球的密度为：ρ=

M

V

=

gR2 G

4 3 πR3

=

3g

4πGR

，故D错误．
故选：C．

点评：本题关键是明确两点：卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力；地球表面重力等于万有引力．