Question

7．如图所示，一轻质光滑刚性细管，一端连接在光滑固定轴O上，可以绕轴O在竖直平面内转动．细管足够长且直径很小．管内有两个直径（略小于管的直径）相同的小球a和b，小球a固定在一长为L的轻质细杆一端，杆的另一端用铰链连接在O上，小球a和小球b通过一轻质弹簧连接，弹簧的原长为1.5L．小球a、b的质量分别为m和3m，开始时将细管置于水平位置，并用力推小球b压缩弹簧，使a、b间距离为L，现撤去推力并由静止释放此装置，当细管转动到竖直位置时，小球a、b间距离为2L，不计两小球的大小和一切阻力．求：
（1）细管竖直时小球a的速度大小；
（2）从静止释放到细管竖直的过程中，轻杆和细管对小球a的合力做的功W．

Answer 1

分析 （1）对小球a、b及弹簧系统从水平到竖直的运动过程应用动能定理，根据竖直方向时，a，b的速度和到转轴的距离成正比即可求解；
（2）对小球a从水平到竖直的运动过程应用动能定理即可．

解答 解：（1）弹簧的原长为1.5L；水平位置时a、b间距离为L；当细管转动到竖直位置时，小球a、b间距离为2L；故弹簧的形变量不变，弹性势能不变；
在运动过程中，只有重力、弹力做功，设细管竖直时的转动角速度为ω，则由动能定理可得：$mgL+3mg•3L=\frac{1}{2}m（ωL）^{2}+\frac{1}{2}3m（3ωL）^{2}$，即$10mgL=14m（ωL）^{2}=14m{{v}_{a}}^{2}$，所以，${v}_{a}=\sqrt{\frac{5gL}{7}}$；
（2）从静止释放到细管竖直的过程中，小球a受轻杆和细管对小球a的合力及重力、弹簧弹力作用；又有弹簧的形变量不变，弹性势能不变，故弹簧弹力做功为零；
那么，由动能定理可得：$mgL+W=\frac{1}{2}m{{v}_{a}}^{2}=\frac{5mgL}{14}$，所以，$W=-\frac{9}{14}mgL$；
答：（1）细管竖直时小球a的速度大小为$\sqrt{\frac{5gL}{7}}$；
（2）从静止释放到细管竖直的过程中，轻杆和细管对小球a的合力做的功W为$-\frac{9}{14}mgL$．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．