Question

（2013?烟台二模）如图所示，真空室内有三个水平方向足够长的区域，区域I中存在按下图规律变化的匀强磁场B₁（磁场垂直纸面向里时为正，T=

πm

2qB0

），区域Ⅱ中存在磁感应强度为B₂的匀强磁场，区域Ⅲ中存在竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E，电场区域沿电场方向的宽度为L三个区域的分界线沿水平方向且相互平行．t=0时刻一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，从A处以初速度v₀垂直于分界线射入磁场，t=

11

3

T时粒子从P点进入区域Ⅱ，运动一段时间后刚好能离开区域Ⅱ进入区域Ⅲ的电场中，最终在N点（图中未画出）离开电场，不计粒子重力，求：

（1）粒子在区域I做圆周运动时的半径；
（2）从t=0到t=2T的时间内粒子通过的路程：
（3）区域I在竖直方向的宽度；
（4）粒子在区域Ⅱ中运动的时间以及从P点到N点沿水平方向的位移大小．

Answer 1

分析：（1）洛伦兹力提供向心力，结合牛顿第二定律可得运动半径
（2）从t=0时间内粒子做的都是匀速直线运动，T到2T时间内由匀速直线运动公式可以求路程
（3）进入磁场后做圆周运动，

2T

3

时间转过的圆心角是

π

3

，由此可以得到轨道半径，进而由几何关系可得区域宽度．
（4）粒子离开区域Ⅱ时，轨迹最低点切线水平，因此可知转过的圆心角，进而得到在次区域运动的时间，半径，水平距离，在区域Ⅲ中做类平抛运动，由平抛规律可得水平位移，可得P点到N点沿水平方向的位移大小

解答：解：
（1）由洛伦兹力提供向心力得：qv0B=m

v02

R

解得：R=

mv0

qB0

（2）O到T时间内：x1=v0T=

πmv0

2qB0

T到2T时间内：x2=v0T=

πmv0

2qB0

故O到2T时间内通过的路程为：
x=x1+x2=

πmv0

qB0

（3）t=

11

3

T时粒子从P点进入区域Ⅱ做圆周运动，

2T

3

时间转过的圆心角是

π

3

因此R′=R（1-cosθ）=

mv0

2qB0

区域Ⅰ的宽度为：H=x₁+R+R′=(π+3)

mv0

2qB0

（4）粒子离开区域Ⅱ时，轨迹最低点切线水平，因此转过的圆心角是：

2π

3

粒子在区域Ⅱ的运动时间为：t=

2πm

3qB2

粒子在区域Ⅱ的运动半径为：R2=

mv0

qB2

粒子在区域Ⅱ的运动水平距离为：s1=R2sinθ=

3 mv0

2qB2

粒子在区域Ⅲ中做类平抛运动则：
竖直方向：L=

qE

2m

t12
水平方向：s2=v0t1=v0

2mL qE

粒子在P点与N点沿水平方向的位移大小为：s=s1+s2=

3 mv0

2qB2

+v0

2mL qE

答：
（1）粒子在区域I做圆周运动时的半径R=

mv0

qB0

（2）从t=0到t=2T的时间内粒子通过的路程x=

πmv0

qB0

：
（3）区域I在竖直方向的宽度H=(π+3)

mv0

2qB0

；
（4）粒子在区域Ⅱ中运动的时间t=

2πm

3qB2

粒子在P点与N点沿水平方向的位移大小为：s=s1+s2=

3 mv0

2qB2

+v0

2mL qE

点评：本题是典型的压轴题，难度相对比较大，但是此类题目一般都会分多问，而开始的一两问是比较基础的，因此这种题目应把握的原则是：保证得到前面的分，然后争取得到后面的分，即使会做后面的，也应在解答时，依据问题多列一些对应的公式，也有可能得公式分．