Question

7．如图所示，A、B是绕地球做圆周运动的两颗卫星，A、B两卫星与地心的连线在相等时间内扫过的面积之比为k，则A、B两卫星的周期之比为（　　）

• A． ${k^{\frac{2}{3}}}$
• B． k
• C． k²
• D． k³

Answer 1

分析 根据AB扫过的面积之比为k，结合$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，求出A、B的轨道半径之比，再根据开普勒第三定律求周期之比；

解答 解：卫星A的线速度为${v}_{A}^{\;}$，轨道半径为${R}_{A}^{\;}$；卫星B的线速度为${v}_{B}^{\;}$，轨道半径为${R}_{B}^{\;}$
设经过时间△t，卫星A扫过的面积$\frac{1}{2}{v}_{A}^{\;}△t•{R}_{A}^{\;}$，卫星B扫过的面积$\frac{1}{2}{v}_{B}^{\;}△t•{R}_{B}^{\;}$
根据题意A、B两卫星与地心的连线在相等时间内扫过的面积之比为k
所以$\frac{\frac{1}{2}{v}_{A}^{\;}△t•{R}_{A}^{\;}}{\frac{1}{2}{v}_{B}^{\;}△t•{R}_{B}^{\;}}=k$，得$\frac{{v}_{A}^{\;}{R}_{A}^{\;}}{{v}_{B}^{\;}{R}_{B}^{\;}}=k$
根据$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，得$\frac{{v}_{A}^{\;}}{{v}_{B}^{\;}}=\sqrt{\frac{{R}_{B}^{\;}}{{R}_{A}^{\;}}}$
联立得$\frac{{R}_{A}^{\;}}{{R}_{B}^{\;}}={k}_{\;}^{2}$
根据开普勒第三定律：$\frac{{T}_{A}^{2}}{{T}_{B}^{2}}=\frac{{R}_{A}^{3}}{{R}_{B}^{3}}={k}_{\;}^{6}$
所以$\frac{{T}_{A}^{\;}}{{T}_{B}^{\;}}={k}_{\;}^{3}$，故D正确，ABC错误；
故选：D

点评 解决天体问题的核心原理是万有引力提供向心力，知道开普勒第三定律$\frac{{R}_{\;}^{3}}{{T}_{\;}^{2}}=k′$，对同一个中心天体比值相同．