Question

8．如图所示，在竖直平面内的直角坐标系xOy的第一象限内存在着沿y轴正方向的匀强电场，在第四象限内存在着等大反向的另一匀强电场和垂直坐标平面向外的匀强磁场，MN为电场和磁场区域的边界线，一带电荷量为-q，质量为m的小球从y轴上的P点（0，d）以初速度v₀=$\frac{3}{2}$$\sqrt{gd}$垂直进入电场，经x轴上的Q点（$\frac{3}{2}$d，0）进入复合场，已知OP=OM=d，
求：（1）匀强电场的电场强度的大小和小球经过Q点时速度的大小v
（2）要使小球不越过边界MN，磁场的磁感应强度的最小值．

Answer 1

分析 （1）粒子在第一象限的电场中做类平抛运动，将运动分解，求出小球受到的电场力的大小以及小球经过Q点的速度；由$E=\frac{F}{q}$求出电场强度．
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，作出粒子的运动轨迹，由数学知识求出粒子的轨道半径；洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力，由牛顿第二定律可以求出磁感应强度．

解答 解：（1）小球在第一象限内做类平抛运动，水平方向：${v}_{0}t=\frac{3}{2}d$
所以：$t=\frac{\frac{3}{2}d}{\frac{3}{2}\sqrt{gd}}=\sqrt{\frac{d}{g}}$
小球在电场线方向的位移：$d=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
代入数据得：a=2g
小球受到重力和电场力的作用，由牛顿第二定律得：
ma=mg+qE
所以：$E=\frac{ma-mg}{q}=\frac{2mg-mg}{q}=\frac{mg}{q}$
小球到达Q时，竖直向下的速度：
${v}_{y}=at=2g×\sqrt{\frac{d}{g}}=2\sqrt{gd}$
小球到达Q的速度：$v=\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}=2.5\sqrt{gd}$
（2）小球在第四象限受到的电场力F=qE=mg，方向向上，所以小球受到的合力等于洛伦兹力，所以小球在第四象限内做匀速圆周运动，要使小球不越过边界MN，运动的临界轨迹如图所示，
由数学知识可得：r-rsin37°≤d，
所以：r≤2.5d
由牛顿第二定律得：qBv=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：$B≥\frac{m•\sqrt{gd}}{qd}$
答：（1）匀强电场的电场强度的大小和小球经过Q点时速度的大小是$2.5\sqrt{gd}$
（2）要使小球不越过边界MN，磁场的磁感应强度的最小值是$\frac{m•\sqrt{gd}}{qd}$．

点评 本题是带电粒子在电场、磁场中运动的综合题，根据题意作出粒子的运动轨迹．应用数学知识求出粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径、粒子转过的圆心角，是本题的难点，也是正确解题的关键．