Question

4．如图所示，在坐标系xOy内有一半径为a的圆形区域，圆心坐标为O₁（a，0），圆内分布有垂直纸面向里的匀强磁场．在直线y=a的上方和直线x=2a的左侧区域内，有一沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E．一质量为m、电荷量为+q（q＞0）的粒子以速度v从O点垂直于磁场方向射入，当速度方向为x轴正方向时，粒子恰好从O₁点正上方的A点射出磁场，不计粒子重力．
（1）求磁感应强度B的大小；
（2）粒子在第一象限内运动到最高点时的位置坐标；
（3）求粒子从射入磁场到最终离开磁场的时间t．

Answer 1

分析 （1）根据几何关系先得到圆心、半径，再根据洛伦兹力提供向心力列式求解B；
（2）粒子离开磁场后，进入电场，根据动能定理列式求解粒子在电场中的位移，从而得到最高点的坐标．
（3）粒子在磁场中做圆周运动，先得到第一次圆心和射出点，进入电场后，又沿原路返回，再得到第二次圆心和射出点，最后得到总时间．

解答 解：（1）设粒子在磁场中做圆运动的轨迹半径为R，根据牛顿第二定律，有
  qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
粒子自A点射出，由几何知识得：R=a
解得  B=$\frac{mv}{qa}$
即磁感应强度B的大小为$\frac{mv}{qa}$．
（2）粒子从A点向上在电场中做匀减运动，设在电场中减速的距离为y
由动能定理，得到-Eqy=0-$\frac{1}{2}$mv²；
解得y=$\frac{m{v}^{2}}{2qE}$
故粒子在第一象限内运动到最高点时的位置坐标为[a，（a+$\frac{m{v}^{2}}{2qE}$）]
（3）画出粒子的运动轨迹如图．
粒子在磁场中运动的时间为 t_B=$\frac{1}{2}T$=$\frac{1}{2}•\frac{2πa}{v}$=$\frac{πa}{v}$
在电场中运动的时间为 t_E=2$•\frac{v}{\frac{qE}{m}}$=$\frac{2mv}{qE}$
故粒子从射入磁场到最终离开磁场的时间 t=t_B+t_E=$\frac{πa}{v}$+$\frac{2mv}{qE}$
答：
（1）磁感应强度B的大小是$\frac{mv}{qa}$；
（2）粒子在第一象限内运动到最高点时的位置坐标是[a，（a+$\frac{m{v}^{2}}{2qE}$）]；
（3）求粒子从射入磁场到最终离开磁场的时间t是$\frac{πa}{v}$+$\frac{2mv}{qE}$．

点评 本题关键先确定圆心、半径，然后根据洛伦兹力提供向心力列式求解；第三问关键先根据题意，分析后画出物体的运动轨迹，然后再列式计算．