Question

8．如图所示，倾角为θ=37°的粗糙斜面AB下端与半径为R=1m的光滑圆弧轨道BCD相切于B点，C是最低点，D点与圆心O等高，整个装置竖直放置，斜面长为L=4m，现有一个质量为m=0.1kg的小物体P从斜面AB上端的A点无初速度下滑．若物体P与斜面AB之间的动摩擦因数为μ=0.25，不计空气阻力，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）物体P第一次通过C点时的速度大小v_C．
（2）物体P第一次通过C点时对轨道的压力F_N．
（3）物体P对C点处轨道的最小压力F_Nmin．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求出物体P第一次通过C点的速度．
（2）根据牛顿第二定律求出物体P第一次通过C点受到的支持力，从而得出物体P对轨道的压力．
（3）最终物体P在C点两侧做往返运动，抓住B点的速度为零，根据动能定理求出C点的速度，结合牛顿第二定律求出最小的支持力，从而得出物体P对C点处的最小压力．

解答 解：（1）根据动能定理得：mgLsinθ+mgR（1-cosθ）-μmgcosθ•L=$\frac{1}{2}m{{v}_{c}}^{2}-0$，
代入数据解得：v_c=6m/s．
（2）在C点，根据牛顿第二定律得：$N-mg=m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$，
解得支持力为：N=mg+$m\frac{{{v}_{c}}^{2}}{R}$=1+0.1×$\frac{36}{1}$N=4.6N．
根据牛顿第三定律知，物体P第一次通过C点时对轨道的压力为4.6N．
（3）最终物体P在C点两侧做往返运动，在B点的速度为零，根据动能定理得：$mgR（1-cosθ）=\frac{1}{2}m{v}_{c}{′}^{2}$，
代入数据解得：v_c′=2m/s．
根据牛顿第二定律得：${N}_{min}-mg=m\frac{{v}_{c}{′}^{2}}{R}$，
解得最小支持力为：${N}_{min}=mg+m\frac{{v}_{c}{′}^{2}}{R}$=1+$0.1×\frac{4}{1}$N=1.4N．
则物体P对C点的最小压力为1.4N．
答：（1）物体P第一次通过C点时的速度大小为6m/s．
    （2）物体P第一次通过C点时对轨道的压力为4.6N．
    （3）物体P对C点处轨道的最小压力为1.4N．

点评 本题考查了动能定理和圆周运动的综合运用，知道物体P在最低点向心力的来源，结合牛顿第二定律进行求解，以及知道物体P在最终在C点两侧做往复运动．