Question

19．宇航员成功登上半径为R的某星球后，为粗测星球质量，在该星球表面上固定一倾角为θ=30°的斜面，使小物块以速度v₀从斜面底端沿斜面向上运动，得到其往返的运动图象如图所示，若图中t₀已知，且引力常量为G，试求：
（1）物块回到斜面底端时速度大小v；
（2）该星球的质量．

Answer 1

分析 （1）物块上滑和下滑的位移大小相等，v-t图象与时间轴包围的面积表示位移大小，据此列式求解物块回到斜面底端时速度大小；
（2）对滑块上滑过程和下滑过程根据牛顿第二定律列式，结合图象得到上滑过程和下滑过程的加速度，联立求解重力加速度；在地面，重力等于万有引力，据此列式；然后联立求解即可．

解答 解：（1）由题意及图象可知：$\frac{{v}_{0}•{t}_{0}}{2}=\frac{{v}_{\;}•2{t}_{0}}{2}$ 
解得：v=$\frac{1}{2}$v₀
（2）物块向上滑动时，根据牛顿第二定律，有：mgsin30°+μmgcos30°=ma₁
其中：${a_1}=\frac{v_0}{t_0}$
物块向下滑动时，根据牛顿第二定律，有：mgsin30°-μmgcos30°=ma₂
其中：${a_2}=\frac{v_0}{2×2t_0}$=$\frac{{v}_{0}}{4{t}_{0}}$
联立解得：$g=\frac{5{v}_{0}}{4{t}_{0}}$
在星球表面，重力等于万有引力，故：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$
联立解得：$M=\frac{5{v}_{0}{R}^{2}}{4{t}_{0}G}$
答：（1）物块回到斜面底端时速度大小v为$\frac{1}{2}$v₀；
（2）该星球的质量为$\frac{5{v}_{0}{R}^{2}}{4{t}_{0}G}$．

点评 本题是万有引力定律与动力学的综合，通过图线得出加速度大小，结合牛顿第二定律求出重力加速度的大小是解决本题的关键．