Question

如图所示，光滑水平面右端B处连接一个竖直的半径为R的光滑半圆轨道，B点为水平面与轨道的切点，在离B距离为x的A点，用水平恒力将质量为m的质点从静止开始推到B处后撤去恒力，质点沿半圆轨道运动到C处后又正好落回A点：

（1）求推力对小球所做的功。

（2）x取何值时，完成上述运动推力所做的功最少？最小功为多少。

（3）x取何值时，完成上述运动推力最小？最小推力为多少？

Answer 1

（1）（2）2R；mgR（3）4R；mg

（1）质点从半圆弧轨道做平抛运动又回到A点，设质点在C点的速度为vC，质点从C点运动到A点所用的时间为t，

在水平方向：  x=vCt            竖直方向上：2R=gt2

解得  

对质点从A到C由动能定理有   WF-mg·2R=

解得：

（2）要使F力做功最少，确定x的取值，由WF=2mgR+mv知，只要质点在C点速度最小，则功WF就最小。若质点恰好能通过C点，其在C点最小速度为v，由牛顿第二定律有,则v=

有，解得：x=2R

当x=2R时， WF最小，最小的功：WF=mgR

（3）由式WF=mg() 及WF=F x 得： )

F有最小值的条件是：即x=4R

得最小推力为：F=mg