Question

16．如图所示，轻质弹簧两端与质量分别为m₁=1kg、m₂=2kg的物块P、Q连在一起，将P、Q放在光滑的水平面上，靠墙、弹簧自然伸长时P静止在A点，用水平力F推P使弹簧压缩一段距离后静止，此过程中F做功4.5J，则撤去F后，求：
（1）P在运动中的最大速度；
（2）Q运动后弹簧弹性势能的最大值；
（3）Q在运动中的最大速度；
（4）P通过A点后速度最小时弹簧的弹性势能．

Answer 1

分析 （1）用水平力F推P使弹簧压缩的过程中，弹簧的弹性势能增加，当撤去F后，弹簧的弹性势能转化为P的动能，弹簧刚恢复原长时，P的速度最大，由能量守恒定律求解．
（2）Q离开墙壁后，弹簧伸长，Q加速，P减速，当两者速度相等时，弹簧的伸长量最大，弹性势能最大．根据动量守恒和机械能守恒结合求解．
（3）当Q离开墙壁后弹簧第一次恢复原长时，Q的速度最大．根据系统的动量守恒和机械能守恒结合求解．
（4）根据当Q离开墙壁后弹簧第一次恢复原长时P的速度，分析P速度的最小值，再由系统的动量守恒和机械能守恒结合求解．

解答 解：（1）当Q刚离墙壁时，P的速度最大．设为v_m．根据功能关系得：
    $\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{m}^{2}$=W_F；
可得 v_m=$\sqrt{\frac{2{W}_{F}}{{m}_{1}}}$=$\sqrt{\frac{2×4.5}{1}}$=3m/s
（2）Q离开墙壁后，当两者速度相等时，弹簧的伸长量最大，弹性势能最大．取向左为正方向，根据动量守恒定律和机械能守恒定律得：
  m₁v_m=（m₁+m₂）v；
  $\frac{1}{2}$m₁v_m²=$\frac{1}{2}$（m₁+m₂）v²+E_p；
联立解得：P、Q的共同速度 v=1m/s．弹簧弹性势能的最大值 E_p=3J；
（3）当Q离开墙壁后弹簧第一次恢复原长时，Q的速度最大．根据系统的动量守恒得：
     m₁v_m=m₁v₁+m₂v₂，
由机械能守恒定律得：
   $\frac{1}{2}$m₁v_m²=$\frac{1}{2}$m₁v₁²+$\frac{1}{2}$m₂v₂²；
联立解得：Q在运动中的最大速度 v₂=4m/s，此时P的速度 v₁=-1m/s，负号表示方向向右．
（4）Q刚离开墙壁时P的速度为v_m=3m/s，方向向左．Q离开墙壁后弹簧第一次恢复原长时，P的速度为v₁=-1m/s，方向向右，所以P的速度最小为0．
设此时Q的速度为v₃．弹簧的弹性势能为 E_p′．
根据动量守恒定律和机械能守恒定律得：
   m₁v_m=m₂v₃；
  $\frac{1}{2}$m₁v_m²=$\frac{1}{2}$m₂v₃²+E_p′；
联立解得 E_p′=2.25J
答：
（1）P在运动中的最大速度是3m/s；
（2）Q运动后弹簧弹性势能的最大值是3J；
（3）Q在运动中的最大速度是4m/s；
（4）P通过A点后速度最小时弹簧的弹性势能是2.25J．

点评 解决本题首先要明确研究的过程，其次把握信隐含的条件：弹簧伸长最长时两木块的速度相同．知道Q离开墙壁后系统遵守两大守恒：动量守恒和机械能守恒，要注意选取正方向．