Question

17．如图所示，足够长的斜面上，质量均为m的两物块A、B相距l，B与斜面间无摩擦，A与斜面间动摩擦因素为?（?＞tanθ），B由静止开始下滑，与A发生弹性碰撞，碰撞时间极短可忽略不计，碰后A开始下滑，设在本题中最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g．求：
（1）第一次碰撞结束瞬间物块A、B的速度各是多大？
（2）A，B再次相遇所需时间是多少？

Answer 1

分析 （1）B沿斜面向下匀加速运动，由动能定理求出B与A碰撞前的速度．B与A发生弹性碰撞，根据动量守恒定律和动能守恒列式，可求出第一次碰撞结束瞬间物块A、B的速度．
（2）A与B碰后，A做匀减速运动，B做匀加速运动．当两者位移相等时再次相遇，由牛顿第二定律和位移时间公式列式求解．

解答 解：（1）对B，匀加速下滑，令与A碰前速度为v₁，则由动能定理得：
   mglsinθ=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
解得 v₁=$\sqrt{2glsinθ}$
对A、B的碰撞过程，令B与A碰后速度分别为v₁′^?和v₂，取沿斜面向下方向为正方向，由动量守恒和能量守恒有：
   mv₁=mv₁′+mv₂．
   $\frac{1}{2}$mv₁²=$\frac{1}{2}$mv₁′²+$\frac{1}{2}$mv₂²．
解得 v₁′=0，v₂=$\sqrt{2glsinθ}$
（2）A与B碰后，A做匀减速运动，B做匀加速运动．
令B恰好在A停止时追上A所对应的摩擦因数为?₀，则有
    v₂t-$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
由牛顿第二定律得：
对B有 mgsinθ=ma
对A有 μ₀mgcosθ-mgsinθ=ma₂．
且 0=v₂-a₂t
得  μ₀=2tanθ
如μ≤2tanθ，则B在A匀减速时追上A
对A有  μmgcosθ-mgsinθ=ma₂．
由位移关系到 v₂t-$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
得 t=$\frac{2\sqrt{2glsinθ}}{μgcosθ}$
如?＞2tanθ，则B在A停止后追上B
对A有，${v}_{2}^{2}$=2a₂x
对B有，x=$\frac{1}{2}gsinθ{•t}^{2}$
解得 t=$\sqrt{\frac{2l}{g（μcosθ-sinθ）}}$
答：
（1）第一次碰撞结束瞬间物块A、B的速度各是$\sqrt{2glsinθ}$和0．
（2）若?≤2tanθ，A，B再次相遇所需时间是$\frac{2\sqrt{2glsinθ}}{μgcosθ}$；若?＞2tanθ，A，B再次相遇所需时间是$\sqrt{\frac{2l}{g（μcosθ-sinθ）}}$．

点评 本题的关键是要分析清楚两个物体相遇的条件，注意临界条件分析与发散思维的运用，不能漏解．