Question

7．如图所示，相距3L的AB、CD两直线间的区域存在着两个大小不同．方向相反的有界匀强电场，其中PT上方的电场Ⅰ的场强方向竖直向下，PT下方的电场Ⅱ的场强方向竖直向上，电场Ⅰ的场强大小是电场Ⅱ的场强大小的两倍，在电场左边界AB上有点Q，PQ间距为L，从某时刻起由Q点以初速度v₀沿水平方向垂直射入匀强电场的带电粒子，电量为+q、质量为m，通过PT上的某点R进入匀强电场Ⅰ后从CD边上的M点水平射出，其轨迹如图，不计粒子的重力，试求：
（1）匀强电场Ⅰ的电场强度的大小和MT之间的距离；
（2）有一边长为a、由光滑绝缘壁围成的正方形容器，在其边界正中央开有一小孔S，将其置于CD右侧，从M点射出的粒子沿直线经S孔水平射入容器中．欲使粒子在容器中与器壁多次垂直碰撞后仍能从S孔射出（粒子与绝缘壁碰撞时无能量和电量损失），并返回Q点，在容器中现加上一个如图所示的匀强磁场，粒子运动的半径小于a，磁感应强度B的大小还应满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）粒子在两电场中做类平抛运动，由图可得出粒子在两电场中的运动情况；分别沿电场方向和垂直电场方向列出物理规律，联立可解得电场强度的大小及MT间的距离；
（2）粒子进入磁场时做圆周运动，由题意可知其运动的临界半径值，再由牛顿第二定律可求得磁感应强度．

解答 解：（1）设粒子经PT直线上的点R由E₂电场进入E₁电场，
由Q到R及R到M点的时间分别为t₂与t₁，到达R时竖直速度为v_y，
由牛顿第二定律得：F=qE=ma，
由位移公式得：2L=v₀t₂，L=v₀t₁，L=$\frac{1}{2}$a₂t₂²=$\frac{1}{2}$×$\frac{q{E}_{2}}{m}$×t₂²，
v_y=$\frac{q{E}_{2}}{m}$t₂=$\frac{q{E}_{1}}{m}$t₁，MT=$\frac{1}{2}$$\frac{q{E}_{1}}{m}$t₁²，
解得：E₁=2E₂，E₁=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{qL}$，MT=$\frac{1}{2}$L；
（2）欲使粒子仍能从S孔处射出，粒子的运动轨迹可能是如图甲、乙所示的两种情况，
对图甲所示的情形，粒子运动的半径为R₁，则：R₁=$\frac{a}{2（2n+1）}$，n=0、1、2、…
由牛顿第二定律得：qv₀B₁=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{R}_{1}}$，
解得：B₁=$\frac{2（2n+1）m{v}_{0}}{qa}$，n=0、1、2、3…
对图乙所示的情形，粒子运动的半径为R₂，则：R₂=$\frac{a}{4k}$，k=1、2、…
由牛顿第二定律得：qv₀B₂=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{R}_{2}}$，
解得：B₂=$\frac{4km{v}_{0}}{qa}$，k=1、2、3…
综合B₁、B₂得：B=$\frac{2Nm{v}_{0}}{qa}$，N=1、2、3…
答：（1）匀强电场Ⅰ的电场强度的大小为$\frac{m{v}_{0}^{2}}{qL}$，MT之间的距离为$\frac{1}{2}$L；
（2）磁感应强度B的大小应满足什么条件是B=$\frac{2Nm{v}_{0}}{qa}$，N=1、2、3…．

点评 本题考查了带电粒子在电场与磁场中的运动，要掌握带电粒子在电场磁场中的运动规律，在电场中利用几何关系得出其沿电场．和垂直于电场的运动规律；而在磁场中也是要注意找出相应的几何关系，从而确定圆心和半径．