Question

8．如图所示，有一固定的且内壁光滑的半球面，球心为O，最低点为C，在其内壁上有两个质量相同的小球（可视为质点）A和B，在两个高度不同的水平面内做匀速圆周运动，A球的轨迹平面高于B球的轨迹平面，A、B两球与O点的连线与竖直线OC间的夹角分别为α=53°和β=37°，以最低点C所在的水平面为重力势能的参考平面，则（sin37°=$\frac{3}{5}$，cos37°=$\frac{4}{5}$；sin$\frac{4}{5}$，cos53°=$\frac{3}{5}$）（　　）

• A． A、B两球所受支持力的大小之比为4：3
• B． A、B两球运动的周期之比为4：3
• C． A、B两球的线速度之比为8：5
• D． A、B两球的角速度之比为1：1

Answer 1

分析 小球受重力和支持力，靠两个力的合力提供向心力，根据平行四边形定则求出支持力之比，根据牛顿第二定律求出周期、线速度、角速度之比．

解答 解：A、由于小球在运动的过程中受到的合力沿水平方向，且恰好提供向心力，所以根据平行四边形定则得，N=$\frac{mg}{cosθ}$，则$\frac{{N}_{A}}{{N}_{B}}=\frac{cos37°}{cos53°}=\frac{0.8}{0.6}=\frac{4}{3}$．故A正确．
B、小球受到的合外力：mgtanθ=$m\frac{{v}^{2}}{r}$=mr$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，r=Rsinθ，解得T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}cosθ}{g}}$，则$\frac{{T}_{A}}{{T}_{B}}=\sqrt{\frac{cos53°}{cos37°}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．故B错误．
C、根据mgtanθ=$m\frac{{v}^{2}}{r}$得：$v=\sqrt{grtanθ}$所以：$\frac{{v}_{A}}{{v}_{B}}=\sqrt{\frac{{r}_{A}}{{r}_{B}}}=\sqrt{\frac{Rsinα}{Rsinβ}}=\sqrt{\frac{4}{3}}$．故C错误；
D、根据公式：mgtanθ=mω²r，所以：$ω=\sqrt{\frac{gtanθ}{r}}$，所以：$\frac{{ω}_{A}}{{ω}_{B}}=\sqrt{\frac{{r}_{B}}{{r}_{A}}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$．故D错误．
故选：A

点评 解决本题的关键搞清向心力的来源，运用牛顿第二定律得出线速度、周期的关系．同时注意能量关系．