Question

4．我国计划在2017年发射嫦娥四号，它是嫦娥探月工程计划中嫦娥系列的第四颗人造探月卫星，主要任务是更深层次，更加全面的科学探测月球地貌，资源等方面的信息，完善月球档案资料．已知月球的半径为R，月球表面的重力加速度为g，引力常量为G，嫦娥四号离月球中心的距离为r，绕月球周期为T，根据以上信息可求出（　　）

• A． 嫦娥四号绕月运行的速度为$\sqrt{\frac{{r}^{2}g}{R}}$
• B． 月球的平均密度为$\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$
• C． 月球的平均密度$\frac{3π}{G{T}^{2}}$
• D． 嫦娥四号绕月运行的速度为$\frac{2πr}{T}$

Answer 1

分析 月球表面重力等于万有引力，绕月卫星的向心力由万有引力提供，据此列式分析即可

解答 解：A、设月球质量为M，嫦娥四号质量为m，根据万有引力提供向心力，有$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=\\;m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$$m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$①
月球表面物体重力等于万有引力，有$m′g=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$②
联立①②得$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}=\sqrt{\frac{{R}_{\;}^{2}g}{r}}$，故A错误；
BC、根据万有引力提供向心力，有$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$，得月球的质量$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
月球的体积$V=\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}$
月球的平均密度ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{3π{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}$，故B正确，C错误；
D、根据$v=\frac{2πr}{T}$知，嫦娥二号绕月运行的速度为$\frac{2πr}{T}$，故D正确；
故选：BD

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$和月球表面的物体受到的重力等于万有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$两个公式的综合应用，注意轨道半径与星体半径的关系．