Question

17．宇航员站在一星球表面上的某高处，从h高处自由下落一个小球，经过时间t，球落到星球表面，已知该星球的半径为R，引力常量为G，求：
（1）该星球的质量M．
（2）该星球的第一宇宙速度是多少？

Answer 1

分析 （1）根据自由落体运动的位移时间公式求出星球表面的重力加速度，根据万有引力等于重力求出星球的质量；
（2）第一宇宙速度等于该卫星绕该星球表面做运动圆周运动的线速度，根据万有引力提供向心力公式求解即可．

解答 解：（1）根据h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得：g=$\frac{2h}{{t}^{2}}$，
在星球表面，根据万有引力等于重力得：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$
解得：M=$\frac{2h{R}^{2}}{G{t}^{2}}$，
（2）第一宇宙速度等于该卫星绕该星球表面做运动圆周运动的线速度，
根据$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$得该星球的第一宇宙速度为v=$\frac{\sqrt{2Rh}}{t}$．
答：（1）该星球的质量M为$\frac{2h{R}^{2}}{G{t}^{2}}$．
（2）该星球的第一宇宙速度是$\frac{\sqrt{2Rh}}{t}$．

点评 在万有引力的应用中加入平抛知识的考查，一定程度上增加了题目的综合性，关键仍是掌握万有引力与重力和向心力关系及平抛运动知识．