Question

17．如图所示，倾角为θ=53°的粗糙斜面AB在B点与光滑圆弧轨道BCD相切，且ABCD平面竖直，圆弧轨道半径R=1m，C、D两点分别为圆弧的最低点和最高点．一个可视为质点质量m=0.4kg的小滑块从斜面上的A点由静止释放，恰好能通过圆弧轨道最高点D，小滑块与斜面AB间的动摩擦因数μ=0.2．求：（已知sin53°=0.8，co53°=0.6，g=10m/s²）
（1）小球运动到C点时，轨道对小球支持力F_N的大小；
（2）A、C两点间的高度h（结果保留3位有效数字）．

Answer 1

分析 （1）抓住滑块恰好通过圆弧的最高点D，根据牛顿第二定律求出D点的速度，根据机械能守恒定律求出C点的速度，结合牛顿第二定律求出轨道对小球的支持力．
（2）对A到C运用动能定理，求出A、C两点间的高度．

解答 解：（1）滑块恰好能通过圆弧轨道最高点D，满足：
$mg=m\frac{{{v}_{D}}^{2}}{R}$，
由机械能守恒定律知：
$\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}+mg•2R=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$，
小球运动到C点时，由牛顿第二定律得：
${F}_{N}-mg=m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$，
代入数据，联立解得：F_N=24N．
（2）从A至C，由动能定理可知：$mgh-μmgcosθ•{s}_{AB}=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-0$，
R（1-cosθ）+s_ABsinθ=h，
代入数据解得：h=2.87m．
答：（1）小球运动到C点时，轨道对小球支持力F_N的大小为24N；
（2）A、C两点间的高度h为2.87m．

点评 本题考查了动能定理、机械能守恒和牛顿第二定律的综合运用，知道最高点和最低点向心力的来源，结合牛顿第二定律和机械能守恒进行求解．