Question

（2006?湖北模拟）如图所示，在方向竖直向上的磁感应强度为B特斯拉的匀强磁场中有两条光滑固定的平行金属导轨MN、PQ，导轨足够长，间距为L，其电阻不计，导轨平面与磁场垂直．ab、cd为两根垂直于导轨水平放置的金属棒，其接入回路中的电阻均为R，质量均为m．与金属导轨平行的水平细线一端固定，另一端与cd棒的中点连接，细线能承受的最大拉力为T，一开始细线处于伸直状态，ab棒在平行导轨的水平拉力F（未知）的作用下以加速a向右做匀加速直线运动，两根金属棒运动时始终与导轨接触良好且与导轨垂直．求：
（1）经多长时间细线被拉断？
（2）若在细线被拉断瞬间撤去拉力F，两棒最终的速度各为多大？
（3）若在细线被拉断瞬间撤去拉力F，两根金属棒之间距离增量△x的最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）ab棒向右做匀加速运动进，穿过回路abcd的磁通量增大，回路中产生感应电动势和感应电流，cd受到向右的安培力作用，当安培力大小等于细线的最大拉力时，细线被拉断．根据 E=BLv、I=

E

2R

、F=BIL，v=at，推导出安培力F的表达式，细线刚被拉断时F=T，即可求得t；
（2）在细线被拉断瞬间撤去拉力F后，cd棒由于受到向右的安培力也向右开始做加速运动，cd切割磁感线产生感应电动势，回路中总的感应电动势将减小，感应电流减小，则ab做加速度逐渐减小的减速运动，cd做加速度逐渐减小的加速运动，最终两者以共同速度v′做匀速直线运动．根据系统动量守恒求得两棒最终匀速运动时的速度．
（3）根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律和电流公式I=

q

t

，求得通过两棒的电量q，再对cd棒运用动量定理求解△x．

解答：解：（1）设绳被拉断时回路中的电流为I，设拉断时棒ab中电动势为E，速度为v，运动时间为t，则
 E=BLv
 I=

E

2R

 v=at
cd棒所受的安培力为 F=BIL，
联立解得，F=

B2L2at

2R

细线即将拉断时，对cd有：T=F
解得：t=

2RT

B2L2a

（2）v=at=

2RT

B2L2

设两棒匀速运动时的相同速度为v′，据动量守恒得：
  mv=2mv′
解得v′=

1

2

v=

RT

B2L2

（3）根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律得：
 

.

I

=

. E

2R

=

△Φ

2R△t

通过两棒的电荷量为q=

.

I

△t=

BL△x

2R

对cd棒，由动量定理得：B

.

I

L△t=mv′
联立上两式得：△x=

2mTR2

B4L4

答：
（1）经

2RT

B2L2a

时间细线被拉断．
（2）若在细线被拉断瞬间撤去拉力F，两棒最终的速度各为

RT

B2L2

．
（3）若在细线被拉断瞬间撤去拉力F，两根金属棒之间距离增量△x的最大值是

2mTR2

B4L4

．

点评：本题双杆模型，当cd棒不动时，只有ab棒切割磁感线产生感应电动势，关键要会推导安培力和运用动量定理求△x．当cd棒也运动时，关键要正确分析两棒的运动情况．