Question

3．如图所示，A，B两块金属板水平放置，板间距为d=0.6cm，两板之间加上周期性变化的电压，当B板接地时，A板上的电势随时间t变化的关系如图．在两板间的电场中，将一带负电的粒子从B板中央由静止释放，若该带电粒子受到的电场力是重力的两倍，要使该粒子能够达到A板，交变电压的周期至少为多大？（g=10m/s²）

Answer 1

分析 前半周期粒子向上匀加速运动，后半周期先向上做匀减速运动，后向下加速运动，根据牛顿第二定律和运动学公式求得微粒在一个周期内的总位移，再进行分析计算

解答 解：设电场力大小为F，则F=2mg，对于t=0时刻射入的微粒，在前半个周期内，有
   F-mg=ma₁
又由题意，F=2mg
解得，a₁=g，方向向上．
后半个周期的加速度a₂满足
  F+mg=ma₂
得 a₂=3g，方向向下．
前半周期上升的高度h₁=$\frac{1}{2}{a}_{1}（\frac{T}{2}）^{2}=\frac{1}{8}g{T}^{2}$
前半周期微粒的末速度为v₁=$\frac{1}{2}gT$
后半周期先向上做匀减速运动，设减速运动时间t₁，则3gt₁=$\frac{1}{2}g{T}^{2}$，则得${t}_{1}=\frac{T}{6}$．
此段时间内上升的高度 h₂=$\frac{1}{2}{{a}_{2}t}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}×3g×（\frac{T}{6}）^{2}$=$\frac{g{T}^{2}}{24}$
则上升的总高度为H=h₁+h₂=$\frac{g{T}^{2}}{6}$
后半周期的$\frac{T}{2}$-t₁=$\frac{T}{2}$时间内，微粒向下加速运动，下降的高度H₃=$\frac{1}{2}×3g×（\frac{T}{3}）^{2}=\frac{g{T}^{2}}{6}$．
上述计算表明，微粒在一个周期内的总位移为零，只要在上升过程中不与A板相碰即可，则H≥d，即$\frac{g{T}^{2}}{6}$≥d
所加电压的周期最短为T_m=$\sqrt{\frac{6d}{g}}$=6×10^-2s
答：交变电压的周期至少为6×10^-2s

点评 带电粒子在电场中运动的问题，是电场知识和力学知识的综合应用，分析方法与力学分析方法基本相同，关键在于分析粒子的受力情况和运动情况